Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

ставляющие импульса px, py, pz. Если же в системе N частиц и они все взаимодействуют друг с другом, то пространство уже 6N- мерное, так как поведение каждой частицы будет зависеть от всех параметров всех частиц кроме рассматриваемой. Любой аналог таких пространств в физике называется фазовым пространством. В таком виртуальном (фазовом) пространстве часто математически легче описывать и прогнозировать поведение системы.

Для коллектива невзаимодействующих нейтронов (в диффузионном приближении нейтрон-нейтронным взаимодействием пренебрегают) состояние нейтрона полностью описывается пятью переменнымиG – тремя пространственными координатами (x, y, z или r ), энергией нейтрона Е, временем t.

Рассмотрим стационарное (не зависящее от времени) простран- ственно-энергетическое распределение нейтронного поля. Для этого запишем уравнение баланса скоростей всех процессов, протекающих в элементарном объеме фазового пространства dVdE, где dV – элементарный объем в окрестности точки r , а dE – элементарный интервал энергий в окрестности значения энергии Е.

Появление нейтрона в элементе объема фазового пространства dVdE или его убыль из этого объема может происходить при изменении либо dV, либо dE, либо того и другого вместе. Уравнение баланса для стационарного случая, по сути, является равной нулю алгебраическойG суммой следующих функций:

1) L(r , E) – количество нейтронов, покидающих в единицу вре-

мени рассматриваемый фазовый объем dVdE за счет пространственной миграцииG (изменение координат);

2) A(r , E) (от англ. аbsorption – поглощение) – количество ней-

тронов, поглощаемых в единицу времени в рассматриваемом фазовом объеме dVdE (топливными нуклидами и другими поглотите- лями3));Ps (rG, E) (индекс s от англ. scattering – рассеяние) – количест-

во нейтронов, покидающих в единицу времени рассматриваемый фазовый объем dVdE за счет рассеяния на ядрах среды (изменение энергии нейтрона при столкновениях с ядрами среды в объеме dV с выходом из (E; Е+dE) и/или dV);

4) Rs (rG, E) – количества нейтронов, появляющихся в единицу времени рассматриваемом фазовом объеме dVdE за счет рассеяния

81

на ядрах среды (изменение энергии нейтрона при столкновениях с ядрами среды в объеме dV и его окрестности с входом в (E; Е+dE) и/или dV из других интервалов и областей); так как рассматривается стационарный случай, то при интегрировании по всему энергетическому спектру нейтронов

5) F(rG, E) (от англ. fission – деление) – количество нейтронов,

генерируемых в единицу времени в рассматриваемом фазовом объеме dVdE за счет деления ядер среды (топливные нуклиды и нестабильные осколки деления, дающие запаздывающие нейтроны);

(6) S(r, E) (от англ. source – источник) – количество нейтронов,

генерируемых в единицу времени в рассматриваемом фазовом объеме dVdE внешними для данного элемента объема dV источниками нейтронов:

(1)G (2)G (3)G (4)G (5)G (6)G

−L(r , E)−A(r , E) −Ps (r , E) +Rs (r , E) +F (r , E) +S(r , E) = 0

или

(1) (2) (5) (6)

Используя выражения (3.19)–(3.23), равенство (3.78) можно записать в виде

(1) (2)

где Ф(rG, E) – пространственно-энергетическое распределение нейтронного поля в среде; νf (от англ. fission – деление) – число ней-

82

тронов, рождающихся в одном акте деления топливного нуклида

(для урана-235 νf ≈ 2,5 ).

Так как коэффициенты уравнения диффузии являются функциями многих переменных, для упрощения решения задачи их усредняют по всему энергетическому спектру нейтронов (односкоростное или одногрупповое приближение) или по энергетическому спектру каждой энергетической группы нейтронов (многогрупповое приближение). В одногрупповом приближении усредненные по всему спектру энергии нейтронов (функция плотности распределения нейтронов n(r , E) ) величины определяются, в соответствии с

83

В силу сложности задачи пусть в каждой точке среды нейтрон-

при этом для функции f(Е) выполняется условие нормировки как

Emax

для любой функции плотности вероятности ∫ f (E)dE =1 .

0

Усреднение характеристик полиэнергетического коллектива нейтронов, в идеале, необходимо проводить по всему спектру конкретного ЯР, но это всегда искомая величина. Поэтому в первом приближении усреднение всех параметров проводят по известным спектрам Уатта (для быстрых нейтронов), Ферми (для замедляющихся нейтронов), Максвелла (для тепловых нейтронов), функции распределенияG которых известны. В формулах (3.81)–(3.86) функцию n(r , E) заменяют на функцию (3.88), где f(Е) – один из трех

известных спектров.

Микросечения σ(Е) взаимодействия нейтрона с ядрами силу симметрии задачи столкновения нейтрона с ядром зависят только от скорости (энергии), а скорость нейтрона в данном случае считается не зависящей от пространственных координат. Тогда макросе-

84

где величины микросечений, усредненных по всему энергетическому спектру нейтронов,

0

С учетом усреднения всех вышеприведенных величин уравнение (3.79) принимает вид

После решения уравнения (3.94) пространственно-энерге-

3.7. Температура нейтронного газа

Рассмотрим газ, состоящий из постоянного количества (N) невзаимодействующих частиц. Частицы газа находятся в состоянии непрерывного движения, называемого тепловым. В процессе теплового движения молекулы газа часто сталкиваются друг с другом. Во время столкновения между частицами происходит обмен энергией, при котором более быстрые передают часть своей энергии

85

более медленным (и наоборот, медленные отбирают часть энергии у быстрых). В результате огромного числа таких столкновений в замкнутом объеме газа устанавливается равновесное распределение молекул по скоростям или энергиям (спектр скоростей или энергетический спектр).

Несмотря на то, что скорости всех частиц газа в процессе хаотического движения непрерывно меняют значения и направления, средняя квадратичная скорость <υкв> остается постоянной при данной температуре (одна из статистических закономерностей, проявляющихся при наличии большого числа однотипных объектов или событий в системе). Это объясняется тем, что в состоянии равновесия реализуется некоторое стационарное распределение молекул по скоростям, подчиняющееся определенному статистическому закону. Этот закон был получен Дж.К. Максвеллом (1831–1879) на основе теории вероятности. Функция (распределения Максвелла молекул по скоростям) f(υ) определяет относительное число (долю) молекул dN/N, скорости которых находятся в интервале [υ, υ+dυ]:

По сути, функция распределения молекул по скоростям f(υ) равна вероятности dW встречи в газе молекулы со скоростью, заключенной в интервале [υ, υ+dυ]:

нормировки для сплошного спектра).

Функция распределения всегда однозначна (вероятность не может иметь несколько значений для данного значения какого-то параметра), конечна (вероятность конечное число). Максимум зависимости (и вероятности) f (υ) (рис. 17) будет соответствовать наи-

более вероятному значению скорости υв.

Данное значение можно получить, исследуя функцию (3.96) (на экстремум):

86

Для получения средней скорости используют методику, приня-

∞

тую в статистической физике: < x >= ∫ xf (x)dx . Подставляя x = υ,

0

∞

f(x) = f(υ) и dx = dυ ( υ =<υ >= ∫υf (υ)dυ) и интегрируя с использо-

0

ванием табличного интеграла

Для получения функции распределения молекул по энергиям (ε)

87

При нагревании газа происходит перераспределение молекул газа по скоростям. Как следствие этого процесса максимум спек-

тра Максвелла сдвигается в направлении больших скоростей или к более высоким температурам газа. Распределение Максвелла не зависит от взаимодействия между молекулами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, броуновского движения частиц, взвешенных в газе или в жидкости, т.е. во всех случаях, где для них возможно классическое описание. Максвелловское распределение является частным случаем решения кинетического уравнения Больцмана для статистического равновесия, поэтому иногда говорят о распределении Максвелла–Больцмана.

Для описания энергетического распределения нейтронов в ЯР распределение Максвелла находит очень широкое применение. Нейтроны различных энергий диффундируют в среде активной зоны подобно газу. Однако нейтронный газ отличается от обычного газа рядом особенностей:

-во-первых, плотность нейтронов по сравнению с плотностью газа при нормальных условиях очень мала. Например, концентра-

ция ТН в активной зоне теплового ЯР составляет примерно n = =1010 нейтр./см3, концентрация молекул любого газа, например, азота, при нормальных условиях составляет примерно 1019 молек./см3. В связи с этим вероятностью столкновений нейтронов друг с другом пренебрегают по сравнению с вероятностью столкновения с ядрами среды;

-во-вторых, распределение Максвелла соблюдается только приближенно вследствие интенсивного поглощения и утечек нейтронов из частей активной зоны. Это вызывает повышение температуры нейтронного газа, которая, как правило, превышает темпе-

ратуру среды на 50−200 К.

88

В первом приближении в гомогенной среде температура нейтронного газа при температуре среды Т определяется выражением

Тн ≈ Т(1 + 1,4Σа(Т)/ξΣs) [К].

Смысл величин, входящих в формулу, будет раскрыт в последующих лекциях.

Средняя и наиболее вероятная скорости ТН определяются по

(3.98), (3.100).

Повторим еще раз то, что уже отмечалось на одной из прошлых лекций.

Измерение температуры нейтронного газа и обычных газов различается. С помощью спектрометра измеряют распределение нейтронов по скоростям, а затем из найденного распределения определяют наиболее вероятную скорость и рассчитывают по ней температуру нейтронного газа.

Температура нейтронов зависит от температуры замедлителя и от сечения поглощения нейтронов средой. Если среда не поглощает нейтроны, то их температура совпадает с температурой среды. Медленные нейтроны поглощаются в средах ЯР интенсивнее, чем быстрые. Число ТН пополняется за счет замедления нейтронов с большей энергией, т.е. сверху (по шкале энергии). Поэтому максимум максвелловского спектра сдвигается вправо по отношению к температуре среды Т. Процесс установления спектра ТН под влиянием теплового движения атомов среды называют термализацией нейтронов.

Для спектра Максвелла отношение средней и наиболее вероятной энергий нейтронов при постоянной температуре нейтронов есть величина постоянная, равная

υср /υнв = 2 / π ≈1,128 или Еср/Енв = 4/π ≈ 1,273 (3.102) (см. (3.98), (3.100)).

В области тепловых энергий в спектре Максвелла микросечения

поглощения для ряда изотопов подчиняются закону 1/υ:

σа = const1/υ = const2/Е1/2. (3.103)

При стандартных условиях (Т = 293 К и нормальном атмосферном давлении нейтроны с Е0 = Енв = kTн = 0,0253 эВ или υ0 = 2200 м/с (E = mυ2/2) называют стандартными ТН, а величины микросе-

89

чений поглощения (радиационного захвата, деления) нуклидов для этих параметров – стандартными микросечениями.

На основании закона 1/υ (3.103)

С учетом (3.102) для любой температуры получим

С учетом (3.104) формула (3.105) примет вид сечения усреднен-

ного по спектру Максвелла:

где gji(Tн) – фактор Весткотта, призванный скорректировать для ряда нуклидов отклонение зависимости (3.106) от закона 1/υ (3.103).

По данным [6] в интервале t = (20÷2000) ºС с точностью ±1,5 % для урана-235

ga5(Tн) = 0,912 + 0,25exp(–0,00475Tн), gf5(Tн) = ga5(Tн) – 0,004;

с точностью ±3 % для плутония-239

ga9(Тн) = 0,9442 – 4,038·10-4Тн + 2,6375·10-6Тн2, gf9(Тн) = 0,8948 – 1,430·10-4Тн + 2,022·10-6Тн2.

Закон 1/υ получается из известной формулы Брейта–Вигнера (и ее следствий), связывающей величину сечения нейтронной реакции данного вида (вероятность реакции) с энергией нейтрона и полуширинами уровней энергии составного ядра.

При небольших энергиях возбуждения ядра спектр возбужденных состояний имеет дискретный характер (рис. 18). Так как возбужденные состояния имеют конечное время жизни τ, то в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга они не определены по энергии Е = Γ ~ =/ τ .

Величина Г называется шириной уровня, а уровни, обладающие конечной шириной, получили название квазистационарных. При

90