Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

1.2. Дефект массы и энергия связи. Зависимость удельной энергии связи от массового числа

Опыт показывает, что масса ядра (целого) mя меньше, чем суммарная масса образующих ядро нуклонов (частей целого).

Разница между суммарной массой свободных нуклонов ядра и массой самого ядра называется дефектом массы ядра m = Zmp + (A − Z )mn −mя . Объяснение этому дает релятивистская

механика на основе формулы Эйнштейна, связывающей массу тела с его энергией покоя

W1 = mяc2 .

С другой стороны, рассматривая ядро как систему нуклонов, по этой же формуле имеем

W2 = (Zmp + (A − Z )mn )c2 ,

где даны массы нуклонов в свободном (вне ядра, несвязанном) состоянии.

Энергией связи называется часть энергии, которая выделяется при образовании связей в ядре или которую необходимо затратить на разделение ядра на составляющие и удаление нуклонов друг от друга на расстояние, где они не взаимодействуют друг с другом.

Отношение энергии связи к числу нуклонов в ядре εсв = Eсв /A

называется удельной энергией связи (МэВ/нукл.). Этой величиной удобно характеризовать устойчивость ядер: чем больше удельная энергия связи, тем устойчивей ядро по отношению к радиоактив-

ным превращениям. Для большинства ядер удельная энергия связи почти одинакова в силу свойства насыщения ядерных сил (рис. 2).

Для легких ядер удельная энергия связи резко возрастает с ростом А. Например, для дейтерия 21 H = 21 D ε =1,11 МэВ/нукл., а уже

= 4 7,07 −(2 + 2) 1,11 = 23,84 МэВ, выделяющаяся в результате ре-

акции синтеза, свидетельствует об энергетической выгодности данной реакции с легкими ядрами (термоядерный синтез при высокой температуре ~106 К).

11

Для ядер с массовыми числами А = 50–60 удельная энергия связи максимальна ε ≈ 8,8 МэВ/нукл. (точнее А = 56 – железо (Fe)). С дальнейшим ростом А удельная энергия связи немного уменьшается. Это объясняется возрастающей ролью кулоновского отталкивания для ядер с большим числом протонов.

Нуклоны в ядре подобно электронам в заполненных электронных оболочках могут формировать завершенное (устойчивое) образование – оболочку, характеризуемую магическими числами, речь о которых пойдет далее.

Для урана (А = 235 или А = 238) удельная энергия связи ε ≈ 7,6 МэВ/нукл. Например, деление ядра с массовым числом А = 240 (ε =7,5 МэВ/нукл.) на два одинаковых ядра (деление на два одинаковых осколка маловероятно) с А = 120 (ε = 8,5 МэВ/нукл.) привело бы к высвобождению энергии Еcв = (8,5–7,5)·240 МэВ = 240 МэВ. Для урана эта величина составляет около 200 МэВ, однако она выделяется не просто в виде тепла, а в основном в виде кинетической энергии осколков и различных частиц и квантов излучения. Отсюда следует энергетическая выгодность слияния (синтеза) легких ядер в одно более тяжелое ядро и деления тяжелых ядер на несколько более легких ядер-осколков.

Протон-нейтронное соотношение (A–Z)/А стабильных ядер в природе, равное для легких ядер ≈ 1, для тяжелых достигает значения 1,58, отклоняясь от линейного закона роста (A–Z)/А с ростом А в сторону преобладания числа нейтронов над числом протонов. Ясно, что получающиеся при делении тяжелых ядер легкие ядраосколки пересыщены нейтронами по сравнению со стабильными модификациями ядер и потому всегда радиоактивны.

1.3. Модели ядра. Эффект парности. Энергетический спектр ядер. Изомеры

Существуют множество моделей ядра, рассмотрим кратко лишь самые известные феноменологические (описательные), каждая из которых, тем не менее, является приближенной, описывающей не все, а лишь некоторые свойства ядер. Единой теории, удовлетво-

рительно описывающей все свойства ядер, на данный момент не существует.

Модели ядер делятся на:

12

-одночастичные – нуклон движется в усредненном самосогласованном поле нуклонов ядра, средний его пробег значителен по сравнению с размерами ядра.

-коллективные – нуклоны сильно связаны, их средний пробег много меньше размера ядра, взаимодействует только с ближайшими соседями.

-обобщенные – комбинация одночастичных и коллективных моделей, например, оптическая (ядро – полупрозрачное тело, падающая частица – волна).

Первая и простейшая коллективная модель – капельная – по аналогии свойств атомного ядра и положительно заряженной капли (механизм деления тяжелых ядер, несферичность ядра и т.д.).

Гидродинамическая (или капельная) модель ядра была предло-

жена впервые Я. Френкелем и развита Н. Бором в 1939 г. Основное предположение модели: благодаря большой плотности нуклонов и

сильному их взаимодействию ядро представляет собой каплю заряженной жидкости плотностью ~1017 кг/м3. При большой амплитуде колебаний поверхности капли происходит процесс деления ядра. В рамках модели пояснены механизмы ряда ядерных реакций. Модель не объясняет особую устойчивость магических ядер и большинство спектров возбуждения ядер.

В рамках капельной модели ядра атома была получена полуэмпирическая формула для величины энергии связи ядра с заданным

А(а.е.м.) и Z – формула Вайцзеккера:

Eсв = 15,56A – 17,23A2/3 – 0,71Z2/A1/3–

– 93,46(A/2 – Z)2/A + 34A-3/4 (МэВ),

где последнее слагаемое берется с «+» для чётно-чётных ядер; с «–» для нечётно-нечётных ядер; равна нулю для всех остальных с нечетным А.

Наиболее интересная из одночастичных моделей – оболочечная

– заполнение оболочек нуклонами по аналогии с электронами по принципу Паули (существование особо устойчивых ядер). Оболочечная модель ядра разработана в 1940–50 гг. американским физиком М. Гёпперт-Майером и немецким физиком Х. Йенсеном. Основное предположение модели: каждый нуклон движется независимо от других в некотором среднем потенциальном поле (яме), создаваемом остальными нуклонами. В силу сложности задачи функция потенциальной энергии подгоняется под эксперименталь-

13

ные данные. Подобно атомам ядра имеют дискретный спектр энергии с расположением нуклонов по оболочкам. Возбуждение ядра достигается переводом нуклона из занятого нижнего состояния с наименьшей энергией на свободное с большей энергией с учетом принципа запрета Паули для фермионов (протонов и нейтронов).

На величину энергии связи отдельных нуклонов влияет эффект парности: особо прочно связаны в ядре пары протонов и пары нейтронов. Наибольшие значения энергии связи у ядер с четным числом протонов и четным числом нейтронов – так называемые четно-четные ядра (чч). Энергия связи нуклона значительно меньше у нечетно-четных (нч) и четно-нечетных ядер (чн), а самая малая – у нечетно-нечетных ядер.

Замкнутые оболочки нуклонов особенно устойчивы. Если число протонов (нейтронов) ядра совпадает с одним из магических чисел

2, 8, 20, 50, 82 (2, 8, 20, 50, 82, 126), то ядро обладает особой устой-

чивостью. На магических (для числа протонов или числа нейтронов) или дважды магических числах (и для протонов, и для нейтронов) обычно прекращается ряд распадов тяжелых ядер. Например, ядро свинца 208Pb (Z = 82, A–Z = 126) является дважды магическим ядром.

Все многоизотопные элементы имеют четные Z, напротив, элементы с нечетным Z, как правило, имеют не более двух изотопов.

Добавочный протон или нейтрон сверх магического числа всегда характеризуется аномально малой энергией связи.

Оболочечная модель противоречит гидродинамической и потому они объясняют «диаметрально» противоположные свойства.

Для коллектива связанных нуклонов, которым является ядро, справедливы по аналогии выводы квантовой механики для энергетического спектра электронов в твердом теле: энергия связанных (в ядре) нуклонов квантуется. При сближении нуклонов на расстояние, близкое к расстоянию между нуклонами в ядре, их спектр становится дискретным, т.е. состоит из разрешенных и запрещенных значений энергии. Переход нуклонов в ядре из их основного состояния на более высокие уровни энергии и составляет процесс возбуждения ядра. Здесь следует провести аналогию с теорией Бора и его постулатами, хорошо известными из общей физики.

Дочерние ядра образуются в возбужденном состоянии, если переход в основное для них запрещен. Для легких ядер А < 50 первый

14

возбужденный уровень расположен при энергии ~1 МэВ, а для тяжелых (A > 200) – при 0,1 МэВ. При возрастании энергии возбуждения расстояние между уровнями уменьшается. При энергии возбуждения >10 МэВ спектр возбуждения тяжелых ядер становится практически сплошным.

Все энергетические уровни имеют конечную ширину Г (Гτ = ħ, τ

– среднее время жизни ядра в данном состоянии), которая определяется на половине высоты (пика) этого уровня.

При переходе из возбужденного состояния в основное при энергии возбуждения

-больше энергии связи нуклона в ядре испускается нейтрон, как не имеющий кулоновского барьера;

-меньше энергии связи нуклона в ядре испускается гамма-квант или электрон конверсии (с внутренних оболочек атома – K-, L-, M- и т.п. электроны).

Явление изомерии было открыто в 1921 г. Отто Ганном. Ядра в метастабильном возбужденном состоянии и основном энергетическом состоянии называются изомерами, а метастабильный уровень –

изомерным уровнем. Среднее время жизни гамма-активных ядер обычно 10-11–10-7 с. Метастабильный уровень – уровень ядра с гораздо большим временем жизни, обычно имеющий с основным большую разницу в спинах, что сильно затрудняет переход ядра из

метастабильного в основное состояние: ZA X* → ZA X + γ (изомерный

переход). Изомерный уровень обычно характеризуется малой энергией возбуждения (рис. 3).

Рис. 3. Изомерный переход

15

1.4. Радиоактивность и ее виды. Закон радиоактивного распада. Альфа-, бета- и гамма-распады и их особенности.

Эффект Мёссбауэра

Радиоактивностью называют свойства атомных ядер самопроизвольно превращаться в другие ядра (изменяя Z и А) путем испускания элементарных частиц и различных видов излучения. При одних и тех же закономерностях процессов различают радиоактивность естественную (фон природных неустойчивых изотопов) и искусственную (при инициируемых ядерных реакциях, трансурановые элементы).

Радиоактивный распад происходит:

- из-за избыточности в ядрах числа нейтронов или протонов по сравнению с равновесным соотношением числа нейтронов и протонов в устойчивых ядрах того же нуклида (рис. 4): при Z > 20 N/Z

отклоняется от 1 и для последнего стабильного изотопа 20983 Bi дос-

тигает N/Z = 1,52;

- из-за избыточности энергии у нуклонов ядра по сравнению с их энергией в стабильном ядре.

Рис. 4. Виды радиоактивного распада (точки – область стабильных изотопов)

Закон радиоактивного распада дает зависимость числа радио-

активных ядер от времени N(t). Так как отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга, можно считать, что число ядер dN, распадавшихся в среднем за интервал времени от t до t+dt, пропорционально числу ядер N(t), имеющихся в момент времени t и промежутку времени dt: dN = −λN(t)dt , где λ – посто-

янная радиоактивного распада данного вида, знак «–» указывает на то, что число ядер уменьшается. Разделим переменные и проинтег-

16

да, справедливый для всех видов распада

N(t) = N0e−λt ,

где N0 – число радиоактивных ядер при t = 0.

Для того чтобы узнать количество распадавшихся за время t

ядер Nрасп, надо из начального числа ядер N0 вычесть число ядер, оставшихся спустя время t:

Nрасп = N0 − N(t) = N0 (1−e−λt ) .

Периодом полураспада Т1/2 называется время, за которое распадается половина первоначального количества ядер (изменяется в широких пределах от 3·10–7 с до 5·1015 лет). Согласно закону N(t) =

= N0/2 при t = Т1/2, следовательно, e−λT1/2 =1/ 2 , откуда

Если радиоактивный нуклид 2 появляется вследствие распада

Радиоактивное (вековое) равновесие наступает при условии равенства скоростей распада материнских (или рождения дочерних

ядер) и распада дочерних ядер: λ2 N2 = λ1N1 .

17

Для грубых оценок постоянной распада λ используется ее связь с пробегом α-частиц в воздухе, устанавливаемую законом Гейге- ра–Нэттола: чем больше постоянная распада λ радиоактивного элемента, тем больше пробег Rα в воздухе испускаемых им α- частиц

ln λ = A + B ln Rα ,

где А и В – опытные постоянные, причем В – одинаково для всех радиоактивных семейств.

Активностью радиоактивного вещества а называется число распадов в единицу времени, измеряется в беккерелях: 1 Бк = 1 распад/с, внесистемная единица – кюри, 1 Ки = 3,7·1010 Бк. С учетом закона радиоактивного распада имеем:

a = dN / dt = λN0e−λt = λN .

Используя связь постоянной распада λ и периода полураспада Т1/2, выражение для активности радиоактивного вещества примет вид:

a = λN = N ln 2 / T1/2 .

Так как все виды распада имеют вероятностный характер, то их принято изображать в виде схем, приведенных на рис. 3.

Возникающие в результате радиоактивного распада ядра часто тоже оказываются радиоактивными. В результате возникает целый ряд радиоактивных превращений (семейство), заканчивающихся стабильным элементом. В настоящее время обнаружено четыре

радиоактивных ряда (семейства), начинающихся с тория 23290Th , двух изотопов урана 23592 U и 23892 U и нептуния 23793 Np . Эти ряды заканчиваются соответственно стабильными изотопами свинца 20882 Pb для тория и 20782 Pb и 20682 Pb для изотопов урана, стабильным ядром висмута 20983 Bi для нептуния.

Типичным примером α-радиоактивного распада является реакция

23892 U → 23490Th+ 42 He +Q .

где Q – энергия.

Обобщенная формула α-радиоактивного распада материнского

X-ядра в дочернее Y-ядро при испускании α-частиц (ядер гелия):

18

ZA X → AZ−−42Y + 42 He +(hν) .

Условие возможности осуществления α-радиоактивного распада:

M (A, Z ) > M (A −4, Z − 2) + M ( 42 He) .

Энергия α-распада:

Eα = c2 (M (A, Z ) − M (A − 4, Z − 2) − M ( 42 He)) .

Масса материнского ядра больше суммарной массы дочерне- го+α-частицы. Соответствующая разница выделяется в виде кинетической энергии дочернего ядра и α-частицы и изучения γ- квантов при переходе дочернего ядра из возбужденного состояния в нормальное. Иногда γ-квант может не покидать ядро, а передать энергию электрону одной из внутренних электронных оболочек, в результате чего электрон покидает атом (внутренняя конверсия). На освободившееся место переходит другой электрон с испусканием кванта рентгеновского излучения, являющегося характеристическим.

При α-распаде около 90 % энергии передается α-частице, остальное – ядру отдачи, которое после этого часто оказывается в возбужденном состоянии и практически сразу испускает избыток энергии в виде гамма-кванта (или электрон-конверсии). α-Частица, испускаемая каждым видом ядер, характеризуется конкретными значениями энергии, свойственными только этим ядрам – это разница энергий материнского и дочернего!

Считается, что α-частица образуется из нуклонов при выходе из тяжелого ядра, при этом ее характеристики зависят от структуры оболочек ядра (несферичности ядра), кулоновского барьера при вылете, от момента, уносимого самой α-частицей и т.п.

Процесс α-распада делится на две стадии: образование в ядре виртуальной устойчивой из-за насыщения ядерных сил (2 протона и 2 нейтрона) α-частицы и испускания ее ядром. Для того, чтобы покинуть ядро α-частица должна преодолеть потенциальный барьер, величина которого, как показывает опыт, много больше максимальной энергии покидающих ядро α-частиц. В результате говорят о туннелировании α-частиц через потенциальный барьер, по оценкам лишь одна из ≈1036 попыток α-частицы вырваться (туннелировать) является успешной.

19

Теория бета-распада, созданная Э.Ферми (1901–1954) в 1934 г. предполагает существование четвертого вида фундаментального взаимодействия – слабого. Согласно Э.Ферми бета-распад есть результат слабого взаимодействия нуклона с электронно-нейтринным полем, при этом нуклон переходит в другое состояние. Бета-

распадом (β-распадом, β-излучением) называется спонтанное внутриядерное превращение нейтрона в протон или наоборот, что сопровождается испусканием электрона и электронного антинейтрино или позитрона и электронного нейтрино:

при этом материнское и дочернее ядра являются изобарами.

У многих тяжелых ядер возможен третий вид β-распада – электронный или K-захват: возбужденное ядро захватывает электрон K-оболочки атома, при этом один из протонов ядра превращается в нейтрон и нейтрино:

На освободившееся место переходит другой электрон с испусканием кванта рентгеновского излучения, являющегося характеристическим.

β-Распад более существен для ядерного реактора по сравнению с альфа-распадом. Условие возможности осуществления β-распада:

M (A, Z ) > M (A, Z +1) + me – электронный или β–-распад, M (A, Z ) > M (A, Z −1) + me – позитронный или β+-распад, M (A, Z) > M (A, Z −1) – электронный или K-захват.

Типичными примерами радиоактивного β-распада являются реакции

Виртуальная частица – электронное нейтрино vе (античастица – антинейтрино ve ) электронейтральна, имеет близкую к нулю массу,

не имеет массы покоя (всегда в движении со скоростью света с), спин ее равен спину электрона. Ее существование было предсказано впервые швейцарским физиком В. Паули (1900–1958) в 1930 г. Из соображения выполнения законов сохранения (энергии и суммарного спина ядра) при β-распаде: для объяснения непрерывного

20