Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

резко различающимися нейтронно-физическими свойствами, например, с вакуумом).

Уравнение (5.12) справедливо для тяжелых замедлителей и сред со слабой зависимостью сечения поглощения от энергии. Уравнение (5.12) дает заниженные по сравнению с реальностью значения плотности замедления j на больших удалениях от источников нейтронов, например, в биологической защите реактора. Это происходит из-за того, что в модели непрерывного замедления не учитываются нейтроны, которые избегают непрерывного замедления, сохраняя в течение значительного времени свою энергию.

Рассмотрим теперь физический смысл переменной возраста нейтронов τ, которая, имея размерность площади [см2], НЕ ЯВЛЯЕТСЯ временем жизни нейтронов. Возраст нейтронов характеризует замедляющие свойства среды и связан с временем жизни нейтрона опосредовано. Покажем это.

Для мгновенных нейтронов (быстрых нейтронов (БН) деления) возраст равен нулю. Нейтрон, начиная замедляться, движется со скоростью v и за малое время dt → 0 пройдет путь ds = υdt, испытывая в среднем число соударений с ядрами среды (замедлителя)

где λs – длина свободного пробега нейтрона между двумя актами последовательного упругого рассеяния. С другой стороны, за малое

где ξ – среднелогарифмическая потеря энергии при однократном

столкновении нейтрона с ядром среды, см. определения (4.41), (4.45); переход (*) сделан с учетом формулы (4.48)

du = d ln EE0 = − dEE .

131

Отсюда среднее время замедления мгновенного быстрого нейтрона деления до возраста τ

Формулу (5.17) можно записать через переменную энергии, если приравнять переход (*) выражения (5.14) и выражение (5.13) с

время замедления мгновенного, быстрого нейтрона деления от энергии Е0 до некоторой энергии Е

Применение (5.18) и (5.19) ограничено асимптотической областью, они плохо описывают действительность при энергиях, близких к энергиям внешних источников.

Вычисленное по (5.19) и данным табл. 4.1 для основных замедлителей в нормальных условиях среднее время замедления от начальной энергии быстрых нейтронов Е0 = 2 МэВ (средняя энергия

132

спектра Уатта) до энергии сшивки (границы теплового спектра –

Если источник(и) испускает нейтроны не с одной начальной энергией Е0, а с некоторым энергетическим спектром f(Е), то средний возраст нейтронов и среднее время замедления при энергии Е необходимо вычислять по формулам

Можно показать, что возраст нейтронов связан не только со средним временем замедления, но и со средним кратчайшим пространственным смещением (от места рождения по прямой до некоторой точки), которое испытывает родившийся БН, замедляясь до некоторой энергии Е (приобретая возраст τ):

Отсюда следует, что возраст нейтронов есть 1/6 среднего квадрата кратчайшего пространственного смещения, на которое смещается нейтрон при замедлении от энергии источника Е0 до энергии Е, соответствующей возрасту τ:

(вспомним о похожей связи длины диффузии и средним квадратом кратчайшего пространственного смещения нейтрона в процессе

диффузии, ф. (3.48), (3.49) L2 = 16 rд2иф ). Можно сделать вывод, что возраст τ определяет миграцию замедляющихся нейтронов, а длина

133

диффузии L определяет миграцию диффундирующих (тепловых) нейтронов.

Возраст нейтронов существенно зависит от условий, например, в замедлителе (воде) активной зоны ВВЭР при разогреве реактора от 20 до 300оС величина возраста тепловых нейтронов (ТН) увеличивается примерно от 30 до 80 см2.

Для комплексной характеристики замедляющих, поглощающих и диффузионных свойств среды вводят длину миграции М [см] – полное среднее расстояние по прямой, на которое смещается нейтрон от момента рождения (как БН) до момента поглощения (как ТН):

Площадь миграции М2 – это характеристика прозрачности активной зоны ЯР для всех нейтронов (и ТН, и эпитепловых): чем больше величина площади миграции нейтронов в активной зоне ЯР, тем она прозрачнее для нейтронов и тем меньше величина вероятности избежания утечки нейтронов из нее.

Для сравнения с временем замедления оценим среднее время диффузии нейтронов во формуле из кинематики

tд = λa/υ = 1/(Σaυ),

где λa = 1/Σa – средняя длина свободного пробега

В гл. 2 приводились следующие цифры для стандартных нейтронов (t = 20°C, υ = 2200 м/с = 2,2·105 см/с) при нормальных условиях [6]:

- в легкой воде Σa ≈ 0,02 см-1, λa = 1/Σa = λaвода ≈ 50 см, tд =

=1/(0,02·2,2·105) ≈ 2,3·10-4 c;

-в графите Σa ≈ 3·10-4см-1, λa = 1/Σa = λaграфит ≈ 3333,3 см, tд =

=1/(3·10-4·2,2·105) ≈ 0,015 c;

-в топливной композиции UO2 с обогащением x = 2%, Σa ≈ 0,36

см-1, λa = 1/Σa = λaтопл ≈ 2,77 см, tд = 1/(0,36·2,2·105) ≈ 1,30·10-5 c.

Сравнивая время замедления и время диффузии, можно увидеть, что время замедления примерно на порядок (в 10 раз) меньше времени диффузии.

Поколением нейтронов называется совокупность нейтронов, появляющихся (рождаемых) в ЯР в малый по сравнению со временем их свободного существования промежуток времени. Среднее

134

время жизни поколения мгновенных нейтронов lмгн без учета запаздывающих нейтронов – это среднее время замедления + среднее время диффузии:

lмгн = tз + tд ≈10−5 ÷10−3 с.

С учетом запаздывающих нейтронов среднее время жизни поколения увеличивается до 0,1 с и более, что достаточно для любого, автоматического и/или ручного, управления ЯР. Подробно влияние запаздывающих нейтронов на процессы, протекающие в ЯР, будет рассмотрено в курсе «Кинетика ядерных реакторов».

Дополним для сравнения свойства замедлителей в табл. 4.1 характеристиками табл. 5.1.

Таблица 5.1

______

*Данные [6].

**Данные [4].

***Замедлители: H2O, D2O, Be, BeO, C (графит); Zr (цирконий) приведен как материал оболочек твэлов, современные твэлы изготавливаются из сплавов циркония с ниобием.

Рассмотрим решение уравнения возраста (5.12)

j(rG,τ) − 1 j(rG,τ) − ∂j(r ,τ) = 0 .

L2τ ∂τ

Как и при решении любого интегро-дифференциального уравнения при решении уравнения возраста (5.12) налагаются различные граничные, начальные и прочие условия (см. гл 3) в соответст-

135

вии с физическим смыслом в конкретной задаче теории замедления нейтронов:

1)условие на внешней выпуклой экстраполированной границе среды с вакуумом для конечных или полубесконечных сред;

2)условия сшивки решений на границе раздела сред с различными физическими свойствами;

3)начальное условие или условие внешнего источника и т.д.

I. Условие на внешней выпуклой экстраполированной границе среды с вакуумом для конечных или полубесконечных сред. По аналогии с условием (3.30) Ф(rэ,t) = 0 , налагаемым на

решение односкоростного уравнения диффузии и рассмотренным ранее, это можно сформулировать как равенство нулю плотности замедления на экстраполированной границе:

где rэ – экстраполированная граница среды с вакуумом.

II. Условия сшивки решений на границе раздела сред с различными нейтронно-физическими свойствами. По аналогии с условиями, налагаемыми на решение односкоростного уравнения диффузии и рассмотренными ранее, и на их базе это можно сформулировать как равенство плотностей замедления и токов замедления.

Из условия (3.31) Ф1 (r0 ,t) = Ф2 (rG0 ,t) с учетом (5.8) перехода от

плотности потока замедляющихся нейтронов Ф к плотности замедления следует j имеем

136

III. Начальное условие или условие внешнего источника.

Данное условие задает распределение источников быстрых нейтронов, возраст которых равен нулю

где j(rG,0) – число нейтронов, испускаемых источником в единице

объема в единицу времени и начинающих замедляться; S – мощность источников нейтронов; δ(r ) , δ(τ) – дельта-функции; S(r ) –

распределение внешних источников быстрых нейтронов.

Часто уравнение возраста записывают в элементарной форме с использованием вероятности избежать поглощения нейтрона в процессе замедления в среде.

Если рассматривать поглощающую и непоглощающую среды, то уравнение возраста (5.12) соответственно можно записать в виде

и элементарного уравнения возраста (уравнения возраста Ферми)

jнепогл (rG,τ) − ∂jнепогл (rG,τ) = 0

∂τ

c начальными условиями (условиями внешнего источника)

jпогл (r ,0) = jнепогл (rG,0) = S(rG) .

Связь между плотностями замедления в поглощающей и непоглощающей средах можно записать через вероятность избежать

Подставляя функцию (5.31) в ее уравнение (5.29), получим уравнение

которое перепишем в виде

137

Так как первые два слагаемых есть элементарное уравнение возраста (5.29/), равное нулю, то и скобка равна нулю. Отсюда получаем уравнение относительно ϕ(τ)

для которого начальное условие с учетом (5.30) определяется как

Физический смысл условия (5.31): возраст родившихся, быстрых нейтронов деления τ = 0, в момент рождения, т.е. до начала замедления в среде вероятность избежать поглощения таких нейтронов в среде ϕ0 = ϕ(τ = 0) =1 – достоверное событие.

Решая уравнение (5.30), можно получить простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Подставляя для интеграла в экспоненте (5.35) выражение (5.11) с учетом перехода (*) равенства (5.14) (из (4.48)

138

Это выражение для слабопоглощающих сред ( Σа (E) << Σs (E) ,

Σ(E) = Σs (E) + Σа (E) ≈ Σs (E) ) совпадает с выражениями (4.76), (4.79).

6. НЕЙТРОННО-ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

6.1. Нейтронный цикл в ядерном реакторе

Цепная ядерная реакция (ЦР) – это реакция деления ядер урана и плутония нейтронами, рождающимися при делении. Необходимое условие протекания самоподдерживающейся ЦР – рождение в каждом очередном акте деления не менее одного нейтрона. Достаточность этого условия зависит от исхода конкуренции четырех процессов, имеющих место в размножающей среде (среде, содержащей нуклиды ядерного топлива):

-деление ядер топлива;

-радиационный захват в топливе;

-радиационный захват нейтронов конструкционными материалами активной зоны и неделящимися компонентами топлива;

-утечка (вылет) нейтронов за пределы размножающей среды.

ВЯР должен поддерживаться баланс скоростей генерации и поглощения, утечки нейтронов. В общем случае скорость генерации тепловых нейтронов может отличаться от скорости поглощения и утечки.

Нейтронным циклом (рис. 29) называется совокупность процессов, приводящих к появлению нового поколения быстрых нейтронов (БН) в реакторе (и, следовательно, к смене поколений при контролируемой цепной реакции деления, сопровождающейся вы-

139

делением ≈200 МэВ при каждом акте деления ядра U-235 ТН, получаемых из БН деления путем замедления через реакции рассеяния). Наиболее эффективно U-235 и Pu-239 делятся ТН.

Рассмотрим следующую цепочку

В данных обозначениях:

(1) – рост числа первичных БН за счет деления 238U под действием БН: ε – коэффициент размножения на БН:

ε = полное число БН , полученных при делении нейтронами всех энергий.

(6.2)

В ВВЭР-1000 величина ε ≈ 1,03. Характерные значения в ЯР ε = = (1,02–1,05) < 1,06, и его практически нельзя изменить, так как природный уран – это в основном 238U. Увеличение плотности потока нейтронов в ЯР на твердотельном топливе за счет деления на БН составляет около 2–3%.

(2) – участие в делении топлива принимает часть БН, избежавших утечки в процессе замедления до резонансных энергий, имеющихся в зависимости сечения радиационного захвата урана238: рз – вероятность избежать утечки нейтронов в процессе замедления до эпитепловых нейтронов

р = число БН поколения, избежавших утечки при замедлении. (6.3)

В ВВЭР-1000 pз ≈ 0,97. Величина pз – изменяющийся параметр, например, за счет изменения температуры и давления замедлителя.

Из решения уравнения возраста Ферми можно получить

pз = exp(–χ2τт), (6.4)

где χ2 – материальный параметр ЯР, τт – возраст тепловых нейтронов.

(3) – участие в делении топлива принимает часть нейтронов, избежавших резонансного поглощения ядрами 238U в конце процесса замедления до ТН: φ – вероятность избежать резонансного захвата нейтронов в конце замедления

140