Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

и при ↓υ → λ↑ сечение образования составного ядра σ ~ λ↑ → ∞. Составное ядро образуется при определенном значении кинетической энергии нейтронов с ее отклонениями в пределах ширины уровня составного ядра Г (см. рис. 18).

За пределами этого узкого интервала энергии составное ядро не образуется и длина волны нейтрона не играет никакой роли. При больших значениях энергии налетающего нейтрона сечение опре-

деляется геометрическим сечением ядра

πR2ядра ≈ 2 б.

Вблизи резонанса сечение описывается формулой Брейта– Вигнера, вариант которой для случая радиационного захвата ней-

=g

где I – спин ядра-мишени; J – спин возбужденного составного ядра; Е – кинетическая энергия нейтрона; Е0 – энергия, соответствующая пику резонанса сечения ядра; g – статистический множитель; Гn, Гγ

– соответственно парциальные ширины резонансных пиков резонансного рассеяния и радиационного захвата нейтрона, связанные с

91

вероятностью распада составного ядра по каналу реакции именно данного вида (из многих возможных), а полная ширина уровня энергии ядра Г = Гn + Гγ + Гf +…= h/τ, где f – деление ядра налетающим нейтроном.

Формула Брейта–Вигнера для случая реакции i-го вида имеет вид

При определении полного сечения образования составного ядра i = t = nr + γ + f, где nr – реакция резонансного рассеяния нейтрона (рассеяние может быть и потенциальным – индекс «nr» – без образования составного ядра). Парциальные сечения связаны с полным сечением образования составного ядра соотношениями

Последние выражения получаются при делении двух формул (3.110) с соответствующими индексами.

В формуле Брейта–Вигнера зависимость сечения от энергии представлена в явном виде, а также через зависимость от энергии величин λ и Г. Если всё привести к явной зависимости от энергии, то сечение радиационного захвата определяется формулой

Переход (*) сделан из следующих соображений. Ширина резонанса согласно соотношению неопределенностей Гi ≈ h/τi = hλi, т.е.

прямо пропорциональна вероятности данного вида распада составного ядра. С учетом λ = h/p = h/(mυ) = h/(2mE)-1/2 можно записать: (λ/λ0) = (E0/E)1/2 и (Гn/Гn0) = (E/E0)1/2. Const включает все константы пропорциональности при данных заменах.

92

Сечения всех процессов, связанных с образованием составного ядра, быстро убывают при возрастании или убывании энергии нейтрона Е относительно энергии максимума резонанса Е0. За пределами резонансов полное сечение взаимодействия нейтрона с ядрами переходит в не зависящее от энергии сечение потенциального рассеяния, определяемое размером ядра σnp = πR2ядра ≈ 2 б. Вблизи резонанса вероятна интерференция резонансного и потенциального рассеяния, поэтому возможно отклонение значения сечения в обе стороны от σnp = πR2ядра ≈ 2 б. Сечения реакций между резонансами малы, но не равны нулю.

Особенностью сечений поглощения при малых значениях энергии нейтронов (тепловые нейтроны) является закон σа ~ 1/υ – зави-

симость (3.103).

Действительно, если в формуле Брейта–Вигнера (3.113) Е << Е0,

то резонансный член превращается в константу, и сечение радиационного захвата σγ ~ 1/υ или ~Е-1/2.

4.ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ

4.1.Рассеяние (замедление) нейтронов на ядрах среды

Рассмотрим процессы рассеяния нейтронов ядрами среды.

В классической механике из-за независимости массы от скорости, импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс (центра инерции).

Центром масс системы называется воображаемая точка С, продев ось через которую, никогда не получим маятник. Например, центр масс диска находится в его центре. Если продеть ось через эту точку перпендикулярно плоскости диска, диск при любом повороте вокруг оси будет находиться в состоянии безразличного равновесия (не будет маятником). Положение центра масс характеризует распределение массы в системе. Радиус-вектор центра масс определяется по формулам

i

93

что эквивалентно трем скалярным уравнениям

(для твердого тела – непрерывное распределение массы – необхо-

Центр масс сложного тела не обязательно лежит внутри тела (системы тел), но он всегда находится внутри многогранника, получаемого при соединении крайних точек тела (системы).

Если тело состоит, например, из двух частей (рис. 19), то центр масс лежит на линии, соединяющей центры масс его час-

тей, т.е. можно найти центр масс 1 и 2 части, а затем определить положение центра масс системы на этой линии как для двух материальных точек, находящихся в точках С1 и С2 и обладающих всей массой m1 и m2 этих частей.

Пример расчета для системы материальных точек. Пусть даны три материальные точки массы m, жестко скрепленные между собой невесомыми стержнями длины d (рис. 20). Определим координаты центра (масс) инерции системы.

Расположим оси координат как показано на рис. 20, тогда

94

Из кинематики известно, что скорость – это первая производная по координате, тогда скорость центра масс

i

При рассмотрении механического движения используют либо лабораторную систему отсчета (ЛСК), либо систему центра инерции (СЦИ). Рассмотрение в СЦИ более простое. Переход из СЦИ в ЛСК и обратно облегчает вычисление кинематических величин.

В ЛСК все координаты и скорости измеряются относительно земли, которая считается покоящейся (неподвижной), а в СЦИ – относительно центра масс системы, который в каждый момент времени также считается неподвижным.

При столкновении с ядром нейтрона с энергией в несколько электрон-вольт (эВ) происходит передача части кинетической энергии нейтрона ядру (энергия отдачи). В первом приближении, даже ядра, связанные в молекулах и/или в твердых телах, можно считать свободными и применять методы классической механики, например, рассматривать упругий удар двух тел.

Пусть нейтрон ударяет покоящееся в ЛСК ядро А (рис. 21). Это предположение хорошо согласуется со случаем, когда энергия нейтрона не меньше нескольких эВ, но не годится для теплового нейтрона – нейтрона с меньшей энергией. В

этом случае скорость ядер сравнима со скоростью тепловых нейтронов.

Принимая начало отсчета по оси 0х в точке нахождения ядра, положение центра масс (центра инерции) системы находим по аналогии с (4.4)

i

95

Тогда скорость центра масс (центра инерции) системы по аналогии с (4.5)

Пусть в ЛСК ядро покоится, а скорость ударяющего нейтрона υG1 . Пусть после соударения нейтрон рассеивается на угол φ со ско-

ростью υG2 , а ядро приобретет скорость υGА2 . По закону сохранения импульса построим векторную сумму импульсов в ЛСК (рис. 22, а).

Рис. 22. Кинематика системы нейтрон–ядро в ЛСК (а) и СЦИ (б)

В СЦИ центр масс должен покоиться. Центр масс в ЛСК движется со скоростью, определяемой (4.7):

Для нахождения скоростей нейтрона в другой системе отсчета (в СЦИ) необходимо найти связь скоростей в ЛСК и СЦИ.

При воображаемом переходе нейтрона из одной системы отсчета (ЛСК) в другую (СЦИ) необходимо воспользоваться известной

теоремой о сложении скоростей из классической механики: век-

тор скорости нейтрона относительно покоящейся системы отсчета (ЛСК) υG1 равен сумме векторов скорости тела относительно дви-

жущейся системы отсчета υn и скорости самой движущейся системы отсчета (относительно неподвижной) υц .

Перенесем изображения векторов скоростей с рис. 22, б на рис. 22, а. Отсюда до столкновения, так как движение идет вдоль одной прямой, можно заменить векторное сложение обычным

96

После столкновения по классическому закону сложения скоро-

Так как в СЦИ центр инерции покоится, то импульсы нейтрона и ядра всегда равны и противонаправлены (см. рис. 22, б), т.е.

Из закона сохранения импульса в ЛСК (см. рис. 22, а) в проек-

Легко видеть, что (4.14) является произведением А на формулу (4.15). Записывая это равенство с умножением на А, получим

Так как отношение квадрата скоростей есть отношение энергий, то деля обе части равенства на (1− A)υ22 , имеем квадратное уравнение

97

решение которого следует искать в силу неотрицательности искомой величины в виде (известном с детства)

Из равенства (4.18) следует, что при рассеянии нейтрона на ядре массой А > 1 на угол φ = 0 кинетическая энергия нейтрона остается неизменной. При рассеянии нейтрона на угол φ = π достигается максимальная потеря кинетической энергии нейтрона – лобовой удар. В этом случае

Диапазон энергий, в котором будет находиться энергия нейтрона после рассеяния можно записать в виде

где параметр α определяет максимальную долю потерю энергии при упругом рассеянии. Диапазон энергий (4.21), в котором находится энергия нейтрона после единичного акта упругого рассеяния, называют ступенькой замедления. Из формулы (4.20) видно, что чем тяжелей ядро (чем больше А), тем меньшая часть энергии теряется нейтроном, тем меньше ступенька замедления.

ВЫВОД: тяжелые ядра – плохие замедлители!

98

Пусть нейтрон рассеивается упруго на водороде (А = 1), тогда из формулы (4.18) имеем

т.е. максимальная потеря энергии при упругом рассеянии на водороде (протоне, А ≈ 1) происходит при ϕ = π / 2 . При этом нейтрон

может полностью отдать свою энергию ядру замедлителя (Е2 = 0) – нейтрон может остановиться.

ВЫВОД: легкие ядра, особенно водород, входящий в состав молекулы воды, обладают хорошими замедляющими свойствами!

В силу данного обстоятельства, распространенности и дешевизны воды, относительной простоты водоподготовки, вода широко применяется в качестве замедлителя и теплоносителя в ядерных реакторах, несмотря на достаточно сильное поглощение нейтронов и активацию:

11 H + 01n → 21 D ;

16O(p;α)13N; 16O(n;p)16N; 17O(n;p)17N; 18O(n;γ)19O; 17O(n;p)18F; 2H(n;γ)3H (T); 40Ar(n;γ)41Ar.

Приравнивая проекции векторов импульсов (скоростей) на первоначальное направление движения нейтрона (рис. 22, а) получим

Подставляя (4.8) и (4.11) в (4.23), можно получить связь между

99

Используя выражение (4.18), можно получить связь углов рас-

Исходя из подобных вышеприведенных рассуждений можно

где параметр α определяется по (4.20).

В завершение рассмотрим вклад кинетической энергии нейтрона в энергию возбуждения ядра. При обычно почти покоящемся ядре-мишени полный импульс системы равен импульсу налетающего нейтрона. В силу взаимосвязи импульса и кинетической энергии, часть кинетической энергии нейтрона Еn перейдет в кинетическую энергию ядра Ея. Оставшаяся часть Е = Еn – Ея передается составному ядру как энергия возбуждения. Обозначая импульс нейтрона υ1, массу ядра-мишени m2 = А (а.е.м.) и массу составного ядра в пренебрежении ее приращением за счет поглощенной энергии m1 + m2 = 1 + А, можно записать (mn = 1 а.е.м., не пишем):

где υц – скорость движения составного ядра, являющаяся также скоростью центра инерции нейтрона и ядра-мишени, так как после поглощения нейтрон не движется относительно ядра. Тогда кинетическая энергия составного ядра

В энергию возбуждения переходит следующая часть энергии ударяющего нейтрона

Часто масса ядра много больше массы нейтрона m2 >> m1 (A >> 1) и Е ≈ Е, но при малой массе А ядра-мишени энергии Е и E могут значительно различаться.

100