Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

Время диффузии есть отношение свободного пробега и скорости теплового нейтрона до поглощения: tд = λa/υ = 1/(Σaυ). Скорость стандартных тепловых нейтронов (давление атмосферное, t=20°C)

υ ≈ 2200 м/с. Для величин макросечений Σa применяемых в ядерных реакторах (ЯР) материалов время диффузии tд = 10-4–10-5 с. Расче-

ты и опыт показывают, что время диффузии больше времени замедления нейтронов до тепловых энергий, т.е. за время 1 с в ЯР может сменить друг друга до 100000 поколений нейтронов!

Задача 3.2. Пусть бесконечно протяженный плоский источник нейтронов мощностью S с единицы площади расположен в бесконечной однородной среде. Пусть мощность источника как функция не зависит от координат и нейтронное поле в системе характеризуется плоской симметрией относительно источника и описывается

Пусть плоскость источника – это плоскость, проходящая через начало координат (х = 0). Определить плотность потока нейтронов как функцию координат.

Решение. Рассмотрим правое полупространство (x > 0) в силу симметрии. Слагаемое с мощностью источника взято половинным, так как источник симметрично испускает нейтроны в обе стороны.

Константы определим из условия ограниченности нейтронного потока (сonst2 = 0) и из условия локализованного источника. Для этого определим проекцию плотности тока нейтронов в точке х = а и перейдем к пределу при a →0 :

Окончательное решение уравнения (3.50) имеет вид

71

В силу симметрии нейтронного поля относительно плоскости

Задача 3.3. Пусть бесконечно протяженный нитевидный ис-

точник нейтронов мощностью S с единицы длины расположен в бесконечной однородной среде. Найти решение уравнения, описывающего плотность потока нейтронов в случае:

Константы определим из условий ограниченности (сonst2 = 0) и

локализованного источника S = lim[2πaJr (a)] = 2πDconst1 , следо-

a→0

вательно, const1 = 2πSD . Окончательное решение уравнения (3.54)

имеет вид

Задача 3.4. Пусть точечный источник мощностью S расположен в центре однородной сферы радиуса R0, окруженной вакуумом (воздухом). Уравнение диффузии нейтронов в области сферы имеет вид (3.37) с учетом (3.42) и с учетом условия на экстраполированной границе с вакуумом Ф(Rэ)=0 согласно (3.30). Его общее решение имеет вид (3.46). Определить плотность потока нейтронов как функцию координат.

Решение. Используя условие на границе сферы с вакуумом, по-

исходя из условия локализованного источника. Число нейтронов, утекающих из сферы радиуса R0, окружающей источник, в окружающее пространство, определяется согласно условию локализо-

72

ванного источника (3.33). Площадь такой сферы SR = v∫ dSR = 4πR2 .

При R → 0

limR→0 v∫ J (R)dSR = S S = 4πDconst1 и const1 = 4πSD .

SR

Окончательно распределение плотности потока нейтронов в

при RLэ → ∞ . На основании этого можно считать, что систему, ха-

рактерный размер которой превышает 2–3 длины диффузии, может считаться бесконечно большой системой.

Задача 3.5. Определить плотность потока нейтронов как функцию координат в случае многослойной системы.

сительно плоскости х = 0 достаточно рассмотреть только правое (или левое) полупространство.

73

В правом полупространстве уравнение диффузии имеет вид

Константы определяется из условий симметрии, сшивки решений на границе, а также из равенства нулю плотности потока нейтронов на экстраполированной границе с вакуумом.

В силу симметрии Ф1(х) = Ф1(-х), следовательно, сonst1 = сonst2, откуда

Решая совместно уравнения (3.63)–(3.65) можно вычислить значения констант и распределение плотности потока нейтронов в каждом слое.

В заключение данной лекции введем понятие диффузионной функции влияния – функции Грина. Если посмотреть на выражения

(3.47), (3.57), то можно заметить, что плотность потока нейтронов в

74

случае точечного источника определяется лишь расстоянием до точки наблюдения. Если единичный точечный источник (S = 1) по-

мещен в точке с координатой r0 , то плотность потока нейтронов в точке наблюдения будет определяться выражением

Функция (3.66) удовлетворяет уравнению диффузии с учетом неотрицательности и ограниченности во всей области определения. По аналогии эта функция может быть введена и для других вышеописанных видов источников. В случае создания нейтронного поля

в бесконечно протяженных однородных средах несколькими (i)

источниками с различными мощностями Si применяется принцип суперпозиции (наложения) нейтронных полей, создаваемых каж-

дым из источников в отдельности. В этом случае плотность потока нейтронов будет определяться выражением

G G V

где G(r ,r0 ) определяется выражением (3.66).

Примечание. При решении задач (3.66) используется для вычисления плотности потока нейтронов для бесконечного нитевидного источника, а также в методе «ложного» источника.

3.4.Интегральное уравнение для потока моноэнергетических нейтронов

Получим распределение плотности потока нейтронов в элементе объема среды, поверхность которого извне нейтроны не пересекают. Пусть нейтрон, рассеявшись в точке r′ попал в точку r . Для этого требуется промежуток времени t′ = t − rG′− rG / υ, где υ – ско-

рость нейтрона. Тогда число нейтронов, рассеявшихся вблизи точ-

75

ки rG′ в элементе объема dV′ равно ΣsФ(rG′)dt′dV ′, где Ф(r′) – плот-

ность потока нейтронов в точке r′. Источники, обладающие, как правило, сферической симметрией, за то же время в том же объеме дают S(rG′)dt′dV ′ нейтронов. Таким образом, полное число нейтро-

нов, родившихся в элементе объема dV′ за время dt′, равно

[ΣsФ(rG′) + S(rG′)]dt′dV ′.

Вероятность того, что нейтроны достигнут точки r′, не испытав по пути столкновения, равна exp(−Σt rG′− rG ) , где Σt – полное мак-

росечение взаимодействия нейтронов со средой. В случае изотропного взаимодействия нейтроны, рассеянные в объеме dV′, спустя время t′ = t − rG′− rG / υ равномерно заполнят сферический слой объ-

емом 4π rG′− rG 2 υdt′. Отсюда плотность нейтронов вокруг точки r ,

жение по всему объему, откуда могут поступить нейтроны, опреде-

Уравнение (3.69) называют интегральным уравнением Пайерлса для потока нейтронов. При выводе этого уравнения не делалось никаких упрощающих предположений, как для уравнения диффузии, поэтому уравнение (3.69) справедливо в областях, как угодно близких к границам объема V. Если же считать макросечения функциями координат, то это уравнение еще более усложняется. Его точное решение даже в простейшем случае весьма затруднительно, поэтому всегда делают ряд упрощающих предположений. Например, используя условия применимости диффузионного при-

76

ближения с помощью разложения функций в ряд Тэйлора с ограничением двумя первыми членами, можно из интегрального уравнения (3.69) получить уравнение диффузии (3.23). Уравнение (3.69) можно также заменить системой алгебраических уравнений.

3.5. Влияние отражателя

Отражателем нейтронов называется среда, которая в силу своих свойств хорошо рассеивает (отражает) нейтроны и слабо их поглощает. Если отражателем окружить размножающую (мультиплицирующую) среду, например, активную зону ЯР, то это будет иметь ярко выраженный эффект в виде уменьшения утечки нейтронов из активной зоны и повышения эффективности ядерной энергетической установки (ЯЭУ). Образуется характерный всплеск плотности потока ТН в ЯР с отражателем (рис. 16), который в общем случае может даже превышать величину потока в центре активной зоны ЯР. Утекающие из активной зоны эпитепловые нейтроны, попадая в отражатель, в силу слабого поглощения в отражателе накапливаются, образуя характерный рост плотности ТН по толщине отражателя. В силу этого часть ТН диффундирует обратно в активную зону, но утечка ТН полностью НЕ ликвидируется. Применение отражателя позволяет также уменьшить критические размеры активной зоны и частично выровнять ее нейтронное поле.

Рис. 16. Распределение плотности потока замедляющихся и тепловых нейтронов в «голом» ЯР и ЯР

с отражателем: R0 – граница активной зоны; R – экстраполированная граница «голого» ЯР; Rотр – граница отражателя; δ – длина экстраполяции «голого» ЯР

Толщина отражателя влияет на его эффективность, стремятся определить оптимальную толщину отражателя, так как при недос-

77

таточной толщине будет происходить большая утечка нейтронов сквозь отражатель, а при избыточной – расти его стоимость и сложность изготовления.

Альбедо β – отражательная способность (поверхности среды), показывающая, какая часть падающих на поверхность частиц отражается обратно в среду. В предыдущих лекциях была выведена формула (3.16). Деля числитель и знаменатель дроби на Ф(0,t)/4 (время t для стационарных задач опускаем) и заменяя 1/ (3Σtr ) = D

( β ≠1 ).

Определим альбедо плоского и цилиндрического отражателей, для этого найдем согласно (3.70) распределение плотности потока нейтронов в отражателе.

Плоский отражатель конечной толщины. Вернемся к рас-

смотрению задачи о плоской трехслойной системе, описываемой уравнениями (3.58)–(3.65), но в новом качестве: слой 1 будем считать активной зоной ЯР, а слой 2 – плоским отражателем

(«2»=«отр»).

Сучетом имеющейся симметрии Ф2(х) = Ф2(–х), т.е. сonst3 =

=сonst4. По-прежнему, считая х = b – экстраполированная граница отражателя с вакуумом, т.е. Ф2(b) = 0, получим

78

Из выражения (3.72) следует, что при уменьшении поглощающих свойств в отражателе L2 растет вместе с альбедо β. Ранее указывалось на примере решения (3.57), что систему, характерный размер которой превышает 2–3 длины диффузии L, может считаться бесконечно большой системой (средой). При толщине b − a ≥ (2 ÷3)L2 плоского отражателя его можно считать бесконеч-

но протяженным сth b − a →1 и

L2

Из условия (3..73) становится ясно, почему реальные отражатели имеют конечные величины толщины и альбедо (не только из соображений экономии материала).

Сферический отражатель конечной толщины. Пусть дан сферический отражатель радиуса b и конечной толщины b–a, окружающий сферическую активную зону радиуса r = a. По аналогии с предыдущим случаем с учетом решения (3.46) имеем

Тогда для границы активная зона–сферический отражатель (r = а) имеем

откуда видно, что βплоск >βсферич , но для бесконечных сред при

r → ∞ βплоск =βсферич .

На границе с отражателем свойства среды (активной зоны) резко меняются, поэтому использовать условия сшивки решений на границе активной зоны и отражателя нельзя. Для учета влияния отражателя и получения верного решения в диффузионном при-

79

ближении пользуются альбедными граничными условиями, подобными (3.30/), где альбедо определяется, например, экспериментально. Записывая формулу (3.70) с учетом (3.30/) в виде

сколько раз длина экстраполяции «голого» реактора δгол меньше, чем эффективная добавка δотр в реакторе с отражателем.

3.6. Одногрупповое (односкоростное) диффузионное приближение

Строго говоря, функция плотности потока нейтронов зависит не толькоG от пространственных координат, но и от энергии нейтронов – Ф(r, E) . Это обусловлено зависимостью от энергии величин, вхо-

дящих в уравнениеG балансаG нейтронов (D, Σ ). Только если представлять Ф(r, E) = Ф(r )ϕ(E) , функция Ф(r ) удовлетворяет стацио-

нарному уравнению диффузии вида (3.23):

S(r ) −ΣaФ(rG) + D Ф(rG) = 0 .

В общей физике показывается, что поведение отдельного, не взаимодействующего с другими частицами, атома в каждый момент времени можно полностью описать 6 координатами (6-мерное пространство): три пространственные координаты x, y, z и три со-

80