Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

Плотностью рассеяния нейтронов будем называть скорость

т.е. в единичном объеме пространства dV и в единичном интервале энергий dE около энергии Е.

Аналогично плотностью столкновений нейтронов будем на-

являющуюся скоростью столкновений нейтронов в единичном фазовом объеме.

Плотностью замедления нейтронов будем называть функцию j(Е), определяющую количество нейтронов в единичном объеме пространства, энергия которых в единицу времени изменяется от значений энергии выше, чем Е, до значений энергии ниже, чем Е. Используя рассуждения, примененные выше для получения выражения скорости процесса (4) в уравнении (4.55), с учетом dE = (E −αE′) и формулы (4.35) можно получить

В случае стационарного монохроматического источника нейтронов (с энергией нейтронов Е0 и постоянной мощностью S), расположенного в непоглощающей нейтроны среде, плотность замедления нейтронов j(Е) не зависит от энергии нейтронов и

j(Е) = S.

111

4.4. Энергетическое распределение замедляющихся нейтронов в бесконечной гомогенной непоглощающей среде

Случай 1. Легкие ядра. При замедлении на водороде (А = 1) без поглощения в среде ( Σa = 0 ) α = EE′ = AA +−11 2 = 0 , т.е. нейтрон

отдает практически всю энергию после однократного акта рассеяния. В силу этого и определения (4.56) уравнение замедления (4.55) примет вид

Решение данного уравнения с особенностью при Е = Е0 имеет вид

Fs (E) = ES .

Согласно (4.56) плотность потока замедляющихся на легких ядрах нейтронов (спектр Ферми) имеет вид

Переходя в выражении (4.60) от переменной энергии к переменной летаргии согласно (4.53) Ф(u) = EФ(E) , имеем

Случай 2. Тяжелые ядра. При замедлении на тяжелых ядрах (А > 1) без поглощения в среде ( Σa = 0 ) нейтрон отдает энергию

порциями и уравнение такого ступенчатого замедления (4.55) в пределах первой ступеньки замедления имеет вид

Для второй и последующих (i = 2,…) ступенек замедления слагаемое источника отсутствует

112

Решение уравнения (4.62) в пределах первой ступеньки замедления имеет вид:

В пределах второй ступеньки замедления из уравнения (4.62)

Функция Fs2(E) терпит разрыв в точке Е = αЕ0 по причине того, что нейтроны при однократном рассеянии от энергии Е0 не могут перейти сразу во вторую ступеньку замедления, но формируют фундамент для нее при первом однократном рассеянии (на первой ступеньке замедления). В этом случае

Решение для третьей и последующих решений замедления сложны.

Функция плотности замедления и ее производные в силу ступенчатого процесса замедления терпят разрывы на границах ступе-

нек замедления при Е = αЕ0, α2Е0, α3Е0 и т.д.

В диапазоне энергий, достаточно удаленном от энергии источника Е0, т.е. для нейтронов, испытавших значительное число соударений с ядрами (на k-й ступени), уравнение замедления имеет вид (4.66) с заменой 2 → k. Решением такого уравнения является функция

113

ходя от переменной энергии к переменной летаргии согласно (4.53)

Fsk (u) = EFsk (E) , Ф(u) = EФ(E) , имеем

Следует отметить для ф.(4.73/), что спектр Ферми (4.62) устанавливается при замедлении нейтронов на тяжелых ядрах (А > 1) только при отсутствии поглощения нейтронов в среде и только в области энергий, удаленной на достаточно большое число ступенек замедления от энергии внешних источников Е0 (так называемая асимптотическая область энергий).

Случай 3. Смесь ядер. При замедлении на смеси ядер без поглощения в среде ( Σa = 0 ), проводя аналогичное рассмотрение для

плотности рассеяния в области энергий удаленной от энергии внешних источников на достаточно большое число ступенек замедления, можно получить

си, ξi – среднелогарифмическая потеря энергии при соударении на ядрах i-го типа, Σs (E) = ∑Σs _ i (E) – сечение рассеяния смеси при

i

условии одинаковой (похожей, изменяющейся по одному закону) зависимости сечений компонентов смеси от энергии.

4.5.Энергетическое распределение замедляющихся нейтронов

вбесконечной гомогенной поглощающей среде

Ранее указывалось, что возможно нерезонансное (часто слабое) поглощение нейтрона средой и резонансное (сильное) поглощение нейтрона в среде на узком изолированном резонансе или на группе

114

узких изолированных резонансов, например, резонансное поглощение в уране-238.

Рассмотрим общее уравнение замедления (4.55) для указанных случаев.

Случай 1. Замедление на легких ядрах (водороде, А = 1) с по-

глощением. Водород относительно слабо поглощает нейтроны. Этот случай будет справедлив и при сильном разбавлении тяжелых ядер водородом NН >> Nя, так как при этом для макросечений рассеяния водорода и тяжелых ядер будет выполняться

ΣНs (Е) = NHσHs (E) >> Σяs (Е) = Nяσяs (E) .

Уравнение замедления (4.55) для данного случая примет вид

Решение данного уравнения приводит в итоге к выражению для

Всоответствии с определением плотности столкновений (4.57)

иформулы (4.73) можно записать

Отсюда следует, что при слабом поглощении нейтронов в среде Σа (E) << Σs (E) , Σ(E) = Σs (E) + Σа (E) ≈ Σs (E) и с учетом определения плотности замедления (4.58/) j(Е) = S.

115

Плотность потока нейтронов в первом приближении описывается спектром Ферми

Если ввести в рассмотрение вероятность избежать поглощения при замедлении нейтронов на легких ядрах от энергии Е0 до энер-

Из выражения (4.76) следует, что при отсутствии поглощения в среде Σа (E) = 0 и ϕ(E0 , E) =1.

Случай 2. Замедление на тяжелых ядрах (А > 1) с поглоще-

нием. Уравнение замедления в данном случае имеет вид (4.55)

−Σs (Е)Ф(E) −Σa (Е)Ф(E) +

технология решения данного уравнения «по ступенькам замедления» такая же, как и в случае замедления на тяжелых ядрах в отсутствие поглощения. Так как функция Σa (Е) может быть весьма

сложна, то решение данного уравнения аналитически для общего случая не представляется возможным. В связи с этим рассмотрим частные случаи для области энергии, достаточно удаленной на большое число ступенек замедления от энергии внешних источников (в асимптотической области энергий):

-случай 2а – случай слабого поглощения нейтронов при замедлении на тяжелых ядрах;

-случай 2б – случай поглощения нейтрона на узком изолированном резонансе (на группе узких изолированных резонансов) тяжелых ядер.

116

Указанная область и перечисленные случаи практически интересны тем, что именно в данной области энергий уже сильно замедлившиеся, эпитепловые нейтроны часто попадают в область резонансов тяжелых ядер, например, урана-238.

Случай 2а. Слабое поглощение нейтронов при замедлении на тяжелых ядрах.

Так как рассматривается слабое поглощение Σа (E) << Σs (E) , Σ(E) = Σs (E) + Σа (E) ≈ Σs (E) , то в первом приближении подобно

рассмотрению на водороде с поглощением (4.56) и рассмотрению замедления на тяжелых ядрах без поглощения (4.43) можно предположить, что плотность потока нейтронов будет совпадать со спектром Ферми

Действительно, в предыдущих лекциях было показано, при замедлении на тяжелых ядрах нейтрон отдает свою энергию растянуто, малыми порциями, уменьшающимися с ростом массового числа А, в то время как на водороде даже при единичном столкновении нейтрон может потерять практически всю кинетическую энергию. Отличие при замедлении нейтронов на тяжелых ядрах от их замедления на водороде для слабого поглощения заключается в том, что в знаменателе появляется множитель – среднелогарифмическая

потеря энергии ξ . Сопоставьте формулы (4.58/), (4.60), (4.61),

(4.68), (4.75) и (4.77).

Изменение плотности замедления в некотором интервале энергии будет равно скорости поглощения нейтронов в данном интервале энергии

По аналогии с формулой (4.76) выражение для вероятности избежать поглощения при замедлении нейтронов на тяжелых ядрах

117

Чем больше массовое число А, тем меньше среднелогарифмическая потеря энергии при одном соударении ξ и тем больше веро-

ятность поглощения нейтрона тяжелыми ядрами при замедлении.

Случай 2б. Поглощение нейтрона на узком изолированном резонансе (на группе узких изолированных резонансов) тяжелых ядер (приближение узких резонансов – УР-приближение).

Введем в рассмотрение ряд характеристик узкого изолированного резонанса (рис. 27): энергию максимума резонанса Еi, высоту резонанса σа0i , ширину Гi, измеряемую на полувысоте резонанса, рас-

стояние до соседнего резонанса Di.

В областях резонанса поглощение сильное

Σа (E) / Σs (E) >>1,

а в межрезонансных областях поглощение относительно слабое

Σа (E) / Σs (E) <<1 ( Σа (E) = σa (E)Nядер ).

Резонанс называется узким, если его ширина Г много меньше ступеньки замедления

(Е1 и Е2 – энергии до и после однократного соударения нейтрона с ядром, см. формулы (4.20), (4.21)):

Гi << (1−α)E . (4.80)

Резонанс называется изолированным, если расстояние до соседнего резонанса D много больше ступеньки замедления:

118

В силу слабого поглощения в областях, примыкающих к узкому изолированному резонансу (УИР) падающий на него поток замедляющихся нейтронов можно в первом приближении считать распределенным по спектру Ферми подобно вышерассмотренным случаям (4.68), (4.75), (4.77). Изменение плотности замедления в малой области энергий узкого резонанса Е = Г по аналогии с (4.78) будет равно скорости поглощения нейтронов в данном интервале энергии

Основная трудность – определение плотности потока нейтронов Ф(Е), так как происходит отклонение в меньшую сторону от распределения спектра Ферми в связи с интенсивным поглощением («выеданием») нейтронов в области энергий УИР. Для оценки Ф(Е) определим скорость прибыли нейтронов в область энергий УИР Е = Г в результате упругого рассеяния из вышележащих интервалов энергии. Для простоты рассмотрим стационарную задачу, в которой данная скорость равна скорости убыли нейтронов из интервала Е = Г в результате упругого рассеяния нейтронов, но при отсутствии их поглощения в рассматриваемом интервале энергии

глощения в интервале энергий УИР путем домножения выражения

Запишем тождество для равенства скоростей поглощения (4.84) и истинной, где неизвестна истинная функция плотности потока нейтронов Ф(Е) в области энергий УИР

откуда истинная функция плотности потока нейтронов Ф(Е) в области энергий УИР

119

Выражение (4.86) называется спектром Вигнера.

Подставляя спектр Вигнера (4.86) в формулу (4.82), получим истинное выражение для скорости поглощения нейтронов в области энергий УИР

С учетом (4.87) вероятность избежать резонансного поглощения

Как бы ни было велико сечение поглощения в резонансе, вероятность φ избежать резонансного поглощения нейтрона на УИР отлична от нуля, если средняя потеря энергии нейтрона при однократном рассеянии больше ширины резонанса. Однако в лекциях ранее было показано (см. формулу (4.19)), что при рассеянии на легких ядрах нейтрон отдает энергию большими порциями, в предельном случае – на водороде при числе соударений, стремящихся к единице. В силу этого вероятность φ избежать резонансного поглощения нейтрона на УИР легких ядер стремится к единице φ → 1. При рассеянии на тяжелых ядрах нейтрон отдает энергию малыми порциями, тем меньше, чем больше массовое число ядра А (приближение бесконечной массы – БМ-приближение) со ступенькой

нократного соударения нейтрона с ядром (см. (4.20), (4.21)). В результате этого вероятность φ избежать резонансного поглощения нейтрона на УИР тяжелых ядер стремится к нулю φ → 0.

Поглощение нейтронов на группе из N узких изолирован-

ных резонансов УИР. Учитывая вышеприведенное рассмотрение для одного УИР, можно считать следующее:

- перед УИР № 1 плотность потока замедляющихся нейтронов описывается распределением Ферми в силу относительно слабого поглощения;

120