Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

Микросечение поглощения равно сумме микросечений деления и радиационного захвата

Полное (total – «t») микросечение равно сумме микросечений всех возможных реакций

Можно и по-другому определить понятие «макросечение». Для

этого формально введем в рассмотрение векторную величину I – ток нейтронов, корректное определение которой дадим в одной из последующих лекций. Пока будем считать, что этот вектор показывает, в каком направлении и сколько нейтронов в данной точке пространства в результате пересекает единичную площадку в единицу времени.

Пусть дан слой вещества, толщиной х. Если N – число ядер в 1 см3, то в тонком слое толщиной dx будет Ndx ядер (рис. 11). Если микросечение σ связано с вероятностью реакции на единичном ядре, то при прохождении слоя толщиной в один атом с вероятностью σ происходит реакция и Ndxσ – есть доля нейтронов, которые вступят в реакцию в этом тонком слое. Эту величину (Ndxσ) следует при-

равнять Nσdx = −dI / I , где –dI – уменьшение числа нейтронов на 1 см2 при проходе слоя толщиной dx. При интегрировании полученного дифференциального уравнения с учетом начальных (граничных) условий, получаем

Ясно, что макросечение реакции Σ = Nς [см-1] имеет размерность обратной длины. Можно записать

Σ = 1/λ, (2.12)

где λ [см] – расстояние в среде, пройдя которое, плотность тока нейтронов ослабляется в е ≈ 2,7 раза (см. (2.11)).

Средняя длина свободного пробега Λji [см] – это длина пути, ко-

торый проходит в среде из i-го типа ядер моноэнергетический нейтрон между двумя следующими друг за другом реакциями j-го ти-

51

па. Например, λaSm=1/ΣaSm – средняя длина свободного пробега в среде до поглощения самарием.

Поскольку процессы рассеяния и поглощения независимы, то

ядрами среды приводит к захвату нейтрона, такая среда называется

сильнопоглощающей.

Для стандартных нейтронов (t = 20 °C, υ = 2200 м/с) в воде при нормальных условиях Σa ≈ 0,02 см-1, в графите Σa ≈ 3·10-4см-1, в топливной композиции UO2 с обогащением x = 2 %, Σa ≈ 0,36 см-1. Следовательно, соответствующие приблизительные средние длины свободных пробегов λaвода ≈ 50 см, λaграфит ≈ 3333,3 см, λaтопливо ≈ 2,77

см [6].

Тепловая мощность ядерного реактора (ЯР) NЯР – это количество теплоты, выделяемое в 1 с в активной зоне ЯР:

где 200 МэВ – энергия, выделяющаяся в среднем при делении 1 ядра урана-235; R5f = Σ5f Ф = σ5f N5 Ф [с-1см-3] – скорость реакции

деления урана-235 (число актов деления в 1 с в 1 см3 топливной композиции); Vтопл [см3] – объем топливной композиции в активной

зоне; Σ5f = σ5f N5 [см-1] – макросечение деления урана-235; σ5f [см2 или б] – микросечение деления урана-235; N5 [см-3] – ядерная

концентрация урана-235; Ф [с-1см-2] – плотность потока нейтронов, для моноэнергетических нейтронов Ф = n υ , где п [см-3] – плотность нейтронов – число нейтронов в 1 см3 активной зоны ЯР, υ [см/с] – скорость моноэнергетических нейтронов.

Таким образом, из формулы (2.14) следует, что для обеспечения работы реактора на постоянной мощности в течение всей кампании

необходимо поддерживать постоянным произведение (N5 Ф). В начале кампании топливо свежее, невыгоревшее, урана-235 в нем

52

много и N5 большая величина. Лишние в начале кампании ЯР ней-

троны убирают вводом самовыгорающих поглотителей нейтронов, например, борной кислоты и оксида гадолиния в ВВЭР-1000. В начале кампании пусковая концентрация борной кислоты в воде первого контура высокая и может достигать 11 г/кг теплоносителя, а к концу кампании путем разбавления дистиллятом снижается до сотых долей грамма/кг теплоносителя. Твэл, содержащий оксид гадолиния Gd2O3 5% от массы топлива, называется в ТВС тепловыделяющим элементом с гадолинием (твэг). В ходе кампании уменьшается концентрация борной кислоты в воде первого контура, выгорает и самовыгорающий поглотитель Gd. В результате плотность потока нейтронов при уменьшении количества оставшегося невы-

горевшего топлива N5 растет, а произведение (N5 Ф) остается постоянным в течение всей кампании на заданном уровне мощности.

3.ДИФФУЗИЯ НЕЙТРОНОВ

3.1.Диффузия и диффузионное приближение. Вычисление одностороннего тока нейтронов.

Закон Фика для нейтронов. Уравнение диффузии

Распространение нейтронов в среде можно рассматривать аналогично процессу диффузии газа в атмосфере и применять закон Фика и уравнение диффузии.

Диффузионное приближение справедливо только при следующих условиях:

-нейтрон рассматривается как точечная частица и пренебрегается нейтрон-нейтронным взаимодействием, считается, что энергия тепловых нейтронов практически не меняется при столкновениях с ядрами среды;

-ядра среды должны быть достаточно тяжелыми для обеспечения изотропного рассеяния (для поправки на анизотропность рассеяния вводят транспортные величины);

-макроскопические сечения рассеяния должны быть неизменными или, в крайнем случае, слабо зависеть от пространственных координат (это означает, что в однородных средах, например, в

53

протяженном чистом замедлителе, поле нейтронов не зависит от направления, от угловых переменных);

- среда не должна содержать сильно локализованных источников или поглотителей нейтронов, поток нейтронов должен слабо меняться на длине свободного пробега нейтрона (слабопоглощающая среда Σs >> Σa, области вдали от источников или границ раздела сред), что часто выражается условием

λФФ <<1.

Вряде областей, например, вблизи границы среды (тела) с пустотой (воздух для нейтронов), сильного поглотителя, источника нейтронов и т.п. диффузионное приближение плохо описывает действительность. При значительных отклонениях ищут решение не уравнения диффузии, а кинетического уравнения. Если объем этих областей мал по сравнению с полным объемом среды, то вводятся поправки к решению уравнения диффузии.

При решении уравнения диффузии всегда рассматривается «средний» нейтрон. Рождающиеся в реакциях деления свободные нейтроны двигаются хаотично, рассеиваясь на ядрах среды на произвольные углы и замедляясь (отдавая им часть энергии). При этом расстояние между столкновениями, угол рассеяния, скорость, энергия являются случайными величинами, т.е. не являются постоянными и не могут быть выражены функцией от времени. Для того чтобы решить уравнение диффузии с коэффициентами, зависящими от этих случайных величин, вводят понятие нейтрона с усредненными параметрами. Такой нейтрон всегда имеет одну и ту же скорость между столкновениями (хотя реально скорость может и расти, и уменьшаться), проходит одно и то же расстояние между

двумя последовательными столкновениями λs, одно и то же число столкновений в единицу времени υ/λs, а также всегда имеет одинаковый угол рассеяния π/2. При этом вместо сечений рассеяния вводят транспортные сечения с индексом «tr». Причины введения транспортных величин рассмотрим позже, а пока будем понимать под этим индексом изотропное рассеяние нейтрона – рассеяние в среднем на угол π/2.

Плотность потока нейтронов Ф можно определить как число

нейтронов N пересекающих в единицу времени t единицу площади S:

54

вит Φ(r ,t)Σtr dV – это число нейтронов,

которое может после рассеяния полететь к площадке dS.

Считаем рассеяние в лабораторной системе координат сферически симметричным (равновероятным во все стороны). Спроецируем площадку dS на поверхность сферы радиуса r с центром в точке r . Эта проекция равна dS cosθ. Доля нейтронов, идущих через эту проекцию, будет равна отношению этой проекции к полной площади

dS cosθ

4πr2

телесного угла, под которым видна площадка dS из точки r ).

Число нейтронов, идущих из объема dV в направлении площадки dS, с учетом вероятности того, что нейтрону удастся из-

бежать взаимодействия с ядрами среды exp(-Σtotr) будет равно

здесь Σtot = Σtr + Σa – полное сечение среды. Так как поглощение в среде мы условились считать слабым (Σtr >> Σa), то взаимодействие нейтрона с ядрами среды в основном заканчивается рассеянием и

Σtot ≈ Σtr .

Полное число нейтронов, идущих из верхнего полупространства в отрицательном направлении оси 0z через площадку dS, можно определить интегрированием выражения (3.3) с учетом того, что dV = dxdydz в сферической системе координат (ССК)

dV = r2 sin θdrdθdϕ:

n = J− (0,t)dS =

правлении оси 0z через площадку dS.

56

Считая рассеяние изотропным и сферически симметричным, имеем

Считая, что функция Ф(r ,t) не претерпевает существенных из-

менений на расстоянии 2–3 длин свободного пробега нейтронов (обоснуем это позже) и плотность потока нейтронов слабо меняется в окрестности начала координат, можно ограничиться линейной аппроксимацией при разложении в ряд Тэйлора в центре площадки dS → 0 (рис. 12):

57

Таким образом, плотность одностороннего тока нейтронов сквозь площадку dS в отрицательном направлении оси 0z (из верхнего полупространства) равна

Рассуждения по аналогии для нижнего полупространства с соответствующими пределами интегрирования приводят к симметричному выражению для односторонней плотности тока через dS в

Тогда разностная плотность токов в положительном направле-

что с учетом произвольности выбора площадки dS (0 можно опустить) приводит к закону Фика, записанному для нейтронов ранее

(см. (3.1), (3.2)):

Связь односторонних токов с плотностью потока нейтронов

имеет вид:

58

Отсюда и следует, что диффузионный ток – это вектор, показывающий в каком направлении и сколько нейтронов в данной точке пространства в единицу времени пересекает единицу площади вследствие встречных составляющих плотности потока Ф по этому направлению.

Альбедо β – отражательная способность (поверхности среды) с

учетом (3.8) и (3.11)

Скорость утечки нейтронов Р [нейтр./см3с] – это число нейтронов, уходящих из единичного объема среды за 1 с.

Пусть расположенный вдоль оси 0х объем dVx имеет прямоугольную форму с торцом в 1 см2 и толщиной dx, тогда объем его dVx = dx. Пусть утечка нейтронов из этого объема определяется разностью выходящего тока нейтронов J(x+dx) и входящего J(x),

В общем случае переход (*) справедлив для однородной среды, свойства которой (коэффициент диффузии D) не зависят от на-

Данное выражение можно получить следующим образом. Представим элементарный объем dV в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz. Если в данный объем, например, в грань dydz входит ток

59

Jx, а выходит из объема Jx+dx, то скорость утечки нейтронов из данного объема будет определяться выражением:

Это выражение можно получить и через теорему Остроградско- го-Гаусса.

Согласно теореме Остроградского–Гаусса: поток Ра вектора a сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен объемному (тройному) интегралу от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному этой поверхностью

Дивергенцией diva называется математическая операция, в результате которой получаем скаляр (не вектор)

т.е. как средняя мощность источников или стоков в области объе-

мом V, ограниченной замкнутой поверхностью S. Таким образом,

P(rG) = v∫ JdS = −Dv∫ ФdS = −D∫div( Ф)dV = −D Ф

Баланс нейтронов единице объема определяется тремя процес-

60