Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

и некоторое количество топлива, достаточное для компенсации отравления, шлакования, температурного и мощностного эффектов реактивности.

Учитывая все это, а также из экономической целесообразности конструктор ЯР должен при выбранных им материалах и топливе, их свойствах создать некоторый критический объем активной зоны ЯР или для больших промышленных ЯР АЭС – несколько критических объемов в пределах одной активной зоны ЯР. Таким образом, конструктор ЯР обеспечивает соответствие материальных (материалы, топливо и их свойства) параметров ЯР его геометрическим критическим параметрам, создавая ЯР, в котором потенциально возможна управляемая самоподдерживающаяся ЦР деления.

Как найти указанные критические геометрические параметры ЯР?

Наименьшей площадью поверхности и наименьшей утечкой нейтронов при равных объемах фигур характеризуется сфера. С учетом выражения (6.37) для геометрического параметра ЯР объем голого сферического ЯР (без отражателя)

С учетом выражения (6.25) для геометрического параметра ЯР

С учетом выражения (6.33) для геометрического параметра ЯР

151

Через полный геометрический параметр (6.33)

Дифференцируя это выражение по Н и приравнивая к нулю, имеем Bг2 H 2 = 3π2 , откуда критический размер

Подставив в (6.40), получим критический размер

= 2,945

R (6.42)

Bг

и оптимальное соотношение между высотой и радиусом цилиндрической активной зоны

Большинство промышленных ЯР – цилиндрические, набранные из обечаек, так как технологически проще изготавливать несферический ЯР.

При этом необходимо минимизировать площадь поверхности и, соответственно, утечку нейтронов. При равных геометрических параметрах Вг2 сферического и цилиндрического ЯР из формулы (6.45) с учетом (6.38) следует, что цилиндрический ЯР имеет минимальный объем (с минимальной площадью поверхности)

Vцил min = 1,145V0 при условии (6.43) 2R/H = 1,083.

Зависимость соотношения цилиндрического и сферического объемов V/V0 (2R/H) приведена на рис. 33.

152

В начальный момент времени сколько рождается, генерируется БН с энергией источника(ов) Е = Е0, столько их и начинает замедляться, т.е. возраст рождающихся БН τ(Е0) = 0, и плотность замедления равна плотности деления. Иначе, вспоминая определение плотности замедления, можно сказать, что сколько БН появляется в результате деления в 1 с в 1 см3, столько их и начинает замедляться

j* (rG,0) = j*f ,

т.е. j*f – скорость реакции генерации БН в некоторой области про-

С другой стороны, в соответствии с формулой 4-х сомножителей (6.13) скорость генерации БН можно записать следующим образом:

Действительно, произведение вероятности поглощения на плотность потока нейтронов ΣaФ есть число нейтронов, поглощаемых

в 1 см3 активной зоны в 1 с, т.е. скорость поглощения нейтронов. Из них в соответствии с формулой 4-х сомножителей (6.13) топливом поглощается ΣaФθ нейтронов в 1 с в 1 см3 активной зоны, а

154

после деления испускается ΣaΦθη быстрых нейтронов. В начальный момент времени идет деление урана-238 на БН и первоначальное число нейтронов растет в ε раз и становится равным ΣaΦθηε.

В соответствии с формулой 4-х сомножителей (6.13) число БН, генерируемых и начинающих сразу после рождения замедляться в 1 см3 активной зоны ЯР в 1 с, будет равно j*f = ΣaΦθηε = ΣaΦk∞ / ϕ .

Подставляя выражение (6.53) в формулу (6.52), имеем

Скорость генерации БН будет с учетом вероятности избежать радиационный захват φ = 1 (φ = 1 только для рождающихся БН) определяться выражением

Возможно получение зависимостей плотности потока и от различных параметров, таких, как четыре сомножителя формулы (6.13) и т.д. Для этого в уравнение баланса ТН

записанное для критического на заданном уровне мощности реактора (dn/dt = 0) подставляют выражения для скоростей генерации (6.56), поглощения (Ra = ΣaФ) и утечки ТН

Подстановка выражения (6.54) для R в (6.50) и деление частей уравнения на не равный нулю множитель k∞Σа/ϕT0 также дает уравнение (6.59), называемое волновым уравнением критического

155

реактора (уравнение Гельмгольца) (6.19), но с параметром χ2 вме-

Параметр χ2, являющийся функцией свойств материалов актив-

Обобщим все условия критичности ЯР. Он может быть критичен на любом уровне мощности. Выполнение условия критичности ЯР означает, что в активной зоне ЯР поддерживается стационарная цепная реакция деления, поддерживается баланс нейтронов, число делений топливных ядер постоянно, чем и обеспечивается постоянное значение нейтронной и тепловой мощности ЯР.

Самое простое условие критичности имеет вид (6.57) или (6.14)

С учетом сравнения уравнений (6.19) и (6.60) условие критичности ЯР можно записать в виде равенства его геометрического и

откуда с учетом выражения для эффективного коэффициента размножения нейтронов реального теплового ЯР конечных размеров (6.14) kэф = k∞ рз рд =1, k∞ = ε ϕ Θ η можно получить развер-

нутое условие критичности ЯР (6.7), записанное ранее без вывода

Из развернутого условия критичности ЯР вытекают выражения для вероятностей избежать утечки в процессе замедления (6.4) pз = = exp(-χ2τт) и диффузии (6.8) рд = (1+Вг2L2)-1, которые раньше были записаны без вывода.

Условие (6.63) ≡ (6.64) дает взаимосвязь размножающих свойств материалов активной зоны критического ЯР ε, ϕ, θ, η, τт, Lт2, определяемых материальным параметром ЯР с критическими размерами активной зоны и отражателя, характеризуемыми геометрическим параметром ЯР Вг2. Часто говорят просто о параметре ЯР, ко-

156

торый в активной зоне критического ЯР является геометрическим + +материальным, так как свойства ЯР зависят не только от его формы и размеров (геометрии), но и от свойств конструкционных и прочих материалов, используемых для формирования активной зоны и отражателя ЯР.

Таким образом, существуют два способа приведения ЯР в критическое состояние:

1)при заданном материальном составе активной зоны изме-

нять ее размеры до критических, описываемых в зависимости от геометрии выражениями (6.38/), (6.39/), (6.41), (6.42);

2)при заданных геометрических размерах активной зоны ЯР подбирать свойства сред, материалов активной зоны и отражателя до обеспечивающих критичность в рабочем диапазоне условий безопасной (нормальной) эксплуатации. Подбор требуемых свойств активной зоны при заданных ее размерах и форме происходит путем выбора материалов с учетом многопараметрических зависимостей их свойств от режимов работы ядерной энергетической установки (ЯЭУ). Например, необходимо учитывать, что в

замедлителе (воде) активной зоны ВВЭР при разогреве от 20 до 300 оС величина возраста тепловых нейтронов (ТН) увеличивается примерно от 30 до 80 см2, а также многое другое.

6.4. Многогрупповое приближение

Аналитическое решение задачи на замедление полиэнергетических нейтронов в неоднородных средах в редких случаях весьма затруднительно, а, в основном, невозможно. На практике для расчетов неоднородных сред используют приближенные (численные) методы. Одним из самых распространенных методов является мультиили многогрупповой метод описания нейтронного поля, который основан на следующих предположениях.

1. Нейтроны делятся на j групп по энергии. Распространенные разбиения – 2, 4, 6, 8, 9, 18, 21, 26, 28 и более групп(ы). С ростом числа групп вместе с точностью увеличивается и сложность приближенных вычислений. Границы групп выбирают произвольно для конкретной задачи с учетом адекватности результатов расчета и эксперимента.

157

В тепловых ЯР часто используют малогрупповые (2, 4, 6, 8 групп(ы)) методы расчета. Большинство расчетов для теплового ЯР можно удовлетворительно проводить уже в 8-групповом приближении. Это возможно потому, что, в основном, поглощаются тепловые нейтроны, описываемые спектром Максвелла. В области замедления плотность потока нейтронов практически постоянна, а в области быстрых нейтронов спектр нейтронов близок к спектру нейтронов деления – спектру Уатта.

Большое число групп нейтронов выбирают при расчете ЯР на промежуточных и быстрых нейтронах (9, 26 и более групп), что, с одной стороны, приводит к увеличению сложности расчетов особенно для многозонных ЯР, а с другой стороны, из-за большого числа экспериментальных и расчетных констант снижает точность расчетов и увеличивает их погрешность. Кроме того, большое число многогрупповых констант затрудняет их физическое осмысливание и уточнение по результатам интегральных измерений.

Границы энергий групп выбирают более-менее произвольно, но с учетом наиболее характерных явлений нейтронного цикла. Первая группа (j = 1) имеет самую большую энергию, последняя группа (группы) является тепловой. Например, можно принять, что окончание процесса замедления и переход нейтронов в тепловую группу происходит при граничной энергии Ес, которая становится верхней границей тепловой группы. Ширину интервала энергии групп выбирают так, чтобы нейтрон не мог за одно соударение проскочить группу и оказаться в следующей группе по шкале энергий. Исключение составляет рассеяние на легком водороде и дейтерии, когда нейтрон может проскочить несколько групп (см. далее п.3 и формулу (6.65)).

2. Нейтроны рождаются в результате реакций деления ядер во всех энергетических группах. Суммарная плотность рождения ней-

тронов Q = ∑vf ΣfjΦj . Нейтроны деления попадают в несколько

j

верхних групп в соответствии с долей спектра fj, приходящейся на j-ю группу. В каждой группе в 1 см3 в 1 с появляется S fj = f jQ ней-

тронов.

3. Нейтроны в группах j > 1 появляются в результате упругого и неупругого рассеяния. Упругое рассеяние переводит нейтрон, как

158

правило, в j-ю группу из (j – 1)-й. Исключением являются такие замедлители, как водород и дейтерий, способные, согласно ранее приведенным расчетам, за одно соударение сбросить энергию нейтрона на несколько групповых энергетических интервалов. Генерация нейтронов за счет упругого замедления и упругого рассеяния описывается выражениями

4. Скорость перехода нейтронов в j-ю группу в результате неупругого рассеяния из предыдущих групп k < j определяется сечением неупругого рассеяния для данной группы

5. Убыль нейтронов из группы обусловлена их утечкой из единичного объема −Dj ΔΦj и уводом из группы вследствие поглоще-

ния ΦjΣaj , упругого замедления ΦjΣзj и неупругого рассеяния

Φj ∑Σinj→i . Суммарное сечение увода нейтронов из верхних групп

i> j

определяется выражением

В группах с энергией ниже пороговой для неупругого рассеяния

В общем случае под сечениями в формулах, приведенных выше, понимают средние сечения. Групповые константы – сечения и другие величины, характеризующие взаимодействие нейтронов с ядрами среды, усредняют аналогично рассмотренному ранее усреднению для одногруппового диффузионного приближения по одному из известных спектров нейтронов (например, Уатта, Ферми, Максвелла, т.д.), но для границ интегралов берутся нижняя и верхняя граница энергии нейтронов соответствующей группы.

Усреднение сечений должно проводиться так, чтобы скорость m-го процесса (скорость реакции) в j-й группе до и после усреднения были равны

159

Ejнижн

ϕj (E) – плотность потока нейтронов на единичный энергетиче-

ский интервал; Σmj – среднее в пределах группы макроскопическое

сечение m-го процесса, которое усредняют для гомогенной (односоставной) среды по формуле

Полное среднее макроскопическое сечение n-компонентной

Обобщая вышесказанное, можно записать уравнение баланса нейтронов в объеме dV = dxdydz для каждой энергетической группы (убыль нейтронов равна их прибыли).

Убыль нейтронов складывается из:

−Dj ΔΦj dV – числа нейтронов группы, ежесекундно утекающих

их объема dV;

ΣувjΦj dV – числа нейтронов группы, ежесекундно исчезающих

из объема dV в результате поглощения и замедления в нижележащие по энергии группы (j растет).

Прибыль нейтронов складывается из:

SejdV– числа нейтронов группы, ежесекундно попадающих в группу j в объем dV из верхних групп в результате реакций упругого рассеяния;

160