Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

4.2. Распределение рассеянного нейтрона в пределах ступеньки замедления. Среднелогарифмическая потеря энергии при одном столкновении. Летаргия

Рассеяние называется сферически симметричным (изотропным), если при каждом соударении в трехмерном пространстве нейтрон рассеивается на угол π/2, т.е. в плоскость, перпендикулярную направлению его движения до рассеяния. Сферически симметричное (изотропное, рис. 23, а) в СЦИ рассеяние в ЛСК оказывается, как показывают расчеты и эксперимент, анизотропным (рис. 23, б). Нейтроны в ЛСК преимущественно рассеваются в направлении первоначального движения. Причем чем легче ядро, тем ярче выражена анизотропия, и наоборот. Покажем это.

а б

Рис. 23. Изотропное (а) и анизотропное (б) рассеяние нейтронов на ядрах среды

Ступенькой замедления α называют согласно (4.19)–(4.21) из-

Пусть функция W(E,E′)dE – вероятность того, что нейтрон с энергией Е до столкновения будет после столкновения иметь энергию E′ (любую) из интервала (E;E+dE), расположенного в пределах ступеньки замедления (αE′; E′) .

По определению плотность вероятности должна удовлетворять условию нормировки

αE/

101

так как приобретение нейтроном после соударения энергии из указанного интервала энергий в пределах ступеньки замедления есть событие достоверное.

Изменение энергии нейтрона в соответствии с функцией W(E,E′)dE неразрывно связано с его углом рассеяния в соответствующей системе отсчета (например, в СЦИ, см. (4.27)).

Пусть W (ϕ′)dϕ′ вероятность того, что нейтрон в СЦИ после соударения рассеивается сферически симметрично на некоторый угол в интервале (ϕ′;ϕ′+ dϕ′) от первоначального направления движения (рис. 24). Найдем связь функ-

Из теории вероятности известно, что если величины x и y связаны между собой однозначной зависимостью y = f(x) и вероятность W(y)dy известна, то вероятность W(x)dx определяют по формуле

W(x)dx = W(y(х))dy(х) или W(x) = W(y(х))(dy/dx).

В нашем случае эта формула с учетом убыли кинетической энергии при увеличении угла рассеяния имеет вид

Для нахождения функции W (E; E′) необходимо найти производную в (4.33). Для этого запишем (4.27)

102

производная равна

Плотность вероятности распределения по энергии упруго рассеянного нейтрона в пределах ступеньки замедления определяется выражением (4.33) с учетом (4.32) и (4.34):

W (E, E′) =W (ϕ′) ddEϕ′ =

Эта формула определяет закон упругого замедления нейтронов:

в результате однократного упругого рассеяния нейтрон с равными вероятностями приобретает любую энергию в пределах ступеньки замедления.

По известной функции плотности вероятности распределения рассеянного нейтрона по энергиям можно вычислить средний косинус угла рассеяния в ЛСК и СЦИ. В ЛСК

Подставляя в (4.36) выражение для косинуса угла рассеяния в

Именно из (4.37) следует, что рассеяние на водороде наиболее анизотропно, т.е. наибольшая асимметрия в передаче импульса нейтрона ядру-мишени наблюдается при А = 1 (рассеяние на лег-

103

ком водороде (протоне) в легководном замедлителе). С ростом массового числа A →∞, т.е. на тяжелых ядрах, рассеяние в ЛСК становится практически изотропным (сферически симметричным). Отсюда следует, что если масса ядра-мишени велика, то передачи импульса ядру в ЛСК практически не происходит.

Рождающиеся в реакциях деления свободные нейтроны двигаются хаотично, рассеиваясь на ядрах среды на произвольные углы и замедляясь (отдавая им часть энергии). При этом расстояние между столкновениями, угол рассеяния, скорость, энергия являются случайными величинами, т.е. не являются постоянными и не могут быть выражены функцией от времени. Для того чтобы решить уравнение диффузии с коэффициентами, зависящими от этих случайных величин, вводят понятие нейтрона с усредненными параметрами. Такой нейтрон всегда имеет одну и ту же скорость между столкновениями (хотя реально скорость может и расти, и уменьшаться), проходит одно и то же расстояние между двумя последовательными столкновениями λs, одно и то же число столкновений в единицу времени υ/λs, а также всегда имеет одинаковый угол рассеяния π/2.

Как показано выше, рассеяние на легких ядрах (с малым А) сферически несимметрично (неизотропно – анизотропно) вследствие передачи большой доли энергии нейтроном ядру. Случай несферического рассеяния приводится к сферическому введением в формулы транспортной длины переноса λtr, которое представляет собой эффективное смещение нейтрона в направлении движения до следующего акта рассеяния, которому соответствует поворот по траектории нейтрона в среднем на угол π/2 (рис. 25).

Рис. 25. Приведение случая несферического рассеяния к сферическому

с использованием транспортных величин

104

Если нейтрон рассеивается на угол, меньше π/2, то можно считать, что после первого акта рассеяния он попадет в точку 2, рассе-

явшись на угол π/2. При этом нейтрон проходит несколько боль-

______ ______

ший, чем λs, путь λs + λs cosϕ, где cosϕ – средний косинус угла

рассеяния в ЛСК. На каждом последующем акте рассеяния необходимо добавлять к пути нейтрона такую же поправку, которая во втором акте рассеяния перемещает точку 3 в положение 3′. При

небрегая поглощением, при стремлении числа столкновений к бесконечности получаем

Следовательно, длина рассеяния λtr содержит поправку λs на асимметрию рассеяния. Перейдя к макро- и микросечениям, получаем

Таким образом, диффузию при анизотропном рассеянии описы-

______

вают, как и при изотропном, но с сечением рассеяния в (1−cosϕ)−1

______

раз меньше, а длиной пробега в (1−cosϕ)−1 раз больше.

При вычислениях удобно пользоваться логарифмической потерей энергии нейтрона при одном соударении

Аналогично вычислению среднего косинуса угла рассеяния (4.36), (4.37) для среднелогарифмической потери энергии нейтрона при одном соударении с ядром можно записать

или

105

(4.42) и (4.43) следует, что среднелогарифмическая потеря энергии ξ (рис. 26) не зависит от начальной энергии нейтрона!

Число столкновений нейтрона с ядрами при замедлении от некоторой начальной энергии Е0 до конечной энергии, например,

Рис. 26. Изменение энергии нейтрона при замедлении (при последовательных столкновениях)

Для удобства вычислений вводится еще одна безразмерная величина – летаргия – величина, увеличивающаяся при уменьшении энергии нейтрона в процессе замедления

106

Например, летаргия БН со средней для их спектра энергией 2 МэВ, ставшего ТН при 0,625 эВ равна

u = ln 2 106 ≈14,98 . 0,625

Удобство использования летаргии заключается в том, что при уменьшении энергии нейтрона в процессе замедления:

- ширина ступеньки замедления Е по шкале энергии уменьшается (см. рис. 26):

- ширина ступеньки и по шкале летаргии не изменяется (по-

Для дальнейших вычислений получим функцию (4.35) в виде функции летаргии. Аналогично получению (4.33) с учетом

(знак «–» ставится исходя из того факта, что летаргия возрастает с убыванием энергии нейтрона),

Найдем среднее приращение летаргии при одном акте соударения нейтрона с ядром. По аналогии с (4.36) с учетом (4.50) и в пре-

u′

107

В формулах для плотности потока нейтронов при переходе от переменной энергии E к переменной летаргии u необходимо делать замену в соответствии с (4.33):

Рассмотрим ряд характеристик замедлителей.

По отдельности величины ξ и Σs не полностью характеризует вещество-замедлитель: ξ характеризует изменение энергии, а Σs – скорость изменения энергии.

Замедляющая способность ξΣs [см-1] является величиной, пол-

ностью характеризующей замедляющие свойства среды (вещества). Замедляющую способность сплавов или химических соедине-

ний рассчитывают по формуле

ξΣs = ∑ξiΣsi .

i

Коэффициентом замедления называется безразмерная величина, равная отношению замедляющей способности среды и эффективного макросечения поглощения среды (вещества):

kз = ξΣs . Σa

Хороший замедлитель должен не только эффективно замедлять нейтроны, но и, в идеале, не поглощать их. Коэффициент замедления служит показателем соотношения замедляющих и поглощающих свойств.

В табл. 4.1 приведены характеристики веществ, откуда по сравниваемым значениям ξ и ξΣs видно, что в легкой воде при одном

столкновении нейтрон теряет бóльшую энергию, замедляется быстрее, т.е. рождающемуся быстрому нейтрону требуется меньшее число столкновений для замедления до тепловых энергий Сs, отсюда относительно малые размеры активной ЯР.

108

Таблица 4.1

* Данные [6].

**Замедлители: H2O, D2O, Be, BeO, C (графит); Zr (цирконий) приведен как материал оболочек твэлов, которые на сейчас изготавливаются из сплавов циркония с ниобием.

***Данные для ТН [7] (1959 г.).

Однако по значениям kз видно, что вода по сравнению с другими замедлителями достаточно сильно поглощает нейтроны, поэтому при использовании легководного замедлителя необходимо существенное обогащение топлива. Для тяжеловодного и графитового замедлителей для обеспечения большого числа столкновений Сs необходимы большие размеры активной зоны, поэтому реакторы CANDU и РБМК канальные, а не корпусные. Достоинство тяжеловодных ЯР – они могут работать на природном, обедненном уране (большой kз), а графитовые – на природном, обедненном уране и на слабообогащенном уране. Бериллиевые замедлители использовались, в основном, в военных и исследовательских ЯР, испускают фотонейтроны.

4.3. Уравнение замедления нейтронов в бесконечной однородной среде

Найдем энергетическое распределение рассеянных нейтронов в замедляющей среде. Рассмотрим однородную бесконечную среду с равномерно распределенными источниками постоянной мощности

109

S, испускающие нейтроны с энергией E0. Так как мощность источников постоянна и среда однородна, то нейтронное поле в среде не зависит от пространственных координат, а лишь будет функцией энергии замедляющихся нейтронов. В стационарном случае баланс нейтронов в единице объема фазового пространства dE будет определяться скоростями четырех процессов:

Σs (Е)Ф(E)dE ; (2) – убыль нейтронов в результате поглощения ядрами среды: Σa (Е)Ф(E)dE ; (3) – прибыль нейтронов в результате

генерации нейтронов внешними источниками постоянной мощности S, испускающие нейтроны с энергией E0: Sδ(E − E0 )dE ; (4) –

прибыль нейтронов в интервал dE (интервал (E; E+dE)) в результате упругого замедления из интервалов энергии dE′, лежащих выше интервала dE с энергией Е.

Найдем выражение для скорости процесса (4).

Число всех нейтронов, упруго рассеянных в единичном пространственном объеме из интервалов энергии dE′, лежащих выше

Из этих нейтронов из интервала dE′ именно в интервал dE с учетом

ния скорости процесса (4) и подставляя скорости (1)–(4) в уравне-

ние (4.54), получим уравнение замедления в бесконечной однородной среде:

E

или с учетом выражения (4.35)

−Σs (Е)Ф(E) −Σa (Е)Ф(E) +

110