Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

-в пределах УИР № 1 из-за резонансного поглощения распределение нейтронов отклоняется от спектра Ферми и описывается спектром Вигнера (4.86);

-так как рассматриваются именно УИР, то в областях между всеми УИР нейтроны испытывают достаточно большое число

столкновений и после некоторых осцилляций при Е < α3 EУИР рас-

пределение замедляющихся нейтронов вновь описывается спектром Ферми.

Обозначая φi – вероятность избежать резонансного поглощения нейтронами на УИР тяжелых ядер, можно записать цепочку систему равенств скоростей поглощения нейтронов в пределах каждого УИР для цепочки из N УИР:

С учетом выражения (4.88) вероятность для нейтрона избежать резонансного поглощения на N-ом из группы (цепочки) УИР при замедлении от энергии источников Е0 до энергии Е, лежащей ниже области энергий этого N-го УИР равна

где корректнее было бы записать

121

так как резонансы имеют отличную от нуля протяженность по энергии Е. Тогда вероятность избежать поглощения на группе (цепочке) УИР

Если сравнить выражения (4.92), (4.76), (4.79), то можно сделать вывод: выражения для вероятности избежать поглощения нейтрона в случае слабого поглощения на водороде (4.76) и в случае слабого поглощения в первом приближении на тяжелых ядрах (4.79) совпадают с выражением для вероятности избежать поглощения на группе (цепочке) УИР в области энергий, удаленных от энергии внешних источников Е0 на достаточно большое число ступенек замедления.

4.6.Эффективный резонансный интеграл поглощений

ирезонансный интеграл поглощений

Интеграл в выражении (4.92) с переменной летаргии (4.45) с учетом равенств (4.52), (4.53) можно переписать в виде

где Nпогл – концентрация ядер вещества-поглотителя, Iа эфф – эффективный резонансный интеграл поглощения:

имеющий смысл интегрального по энергии микроскопического сечения поглощения. Фактически интеграл в экспоненте (4.92) представлен в (4.93) в виде отношения эффективного макросечения поглощения NпоглIа эфф (по аналогии с определением макросечения

Σ(u) = Nσ(u) ) и замедляющей способности Σs (u)ξ .

122

Для замедляющихся нейтронов, удаленных по энергии от резонансов и источников нейтронов на достаточно большое число ступенек замедления (асимптотическая область энергии) плотность

Для замедляющихся нейтронов в области энергий УИР плот-

Для упрощения решаемых задач удобно пользоваться одним спектром Ферми, вводя определенные поправки в случаях отклонения от спектра Ферми – в случаях возмущенного спектра.

С учетом вышеизложенного на основании формул (4.93), (4.94) эффективный резонансный интеграл поглощения Iа эфф имеет смысл некоторого эффективного интегрального микроскопического сечения поглощения ядер резонансного поглотителя, которое позволяет оценить скорость резонансного поглощения нейтронов при их замедлении в резонансной области с использованием невозмущенного спектра замедляющихся нейтронов – спектра Ферми.

где под Nпогл можно понимать концентрацию ядер урана, а под Nзам

– концентрацию ядер замедлителя.

123

называемую интегралом поглощений, резонансным интегралом поглощений или просто истинным резонансным интегралом. Если разбавление поглотителя велико или, как говорят, имеет место случай бесконечного разбавления резонансного поглотителя другими

= ∫u σа(u′)du′ = Iа (u).

0

Таким образом, эффективный резонансный интеграл поглощения в отличие от просто резонансного интеграла поглощения учитывает возмущение спектра замедляющихся нейтронов, отклонение их спектра от спектра Ферми, вызванное резонансным поглотителем.

Истинный резонансный интеграл поглощения Iа не зависит от температуры, так как в соответствии с (4.99) он имеет смысл площади под кривой функции σа (u′) или σа (Е) . Кривая изменяется, а

площадь под ней остается постоянной, нормированной. В то же время эффективный резонансный интеграл поглощения Iа эфф является функцией от температуры среды, так как в выражении (4.97) микросечения среды входят и в числитель, и в знаменатель.

124

Так как эти интегралы совпадают только в случае бесконечного разбавления резонансного поглотителя другими веществами, то и температурная зависимость вероятности избежать резонансного поглощения слабо зависит от температуры только в бесконечного разбавления. В противном случае зависимость вероятности избежать резонансного поглощения от температуры резкая вследствие уширения резонансов с температурой (эффект Доплера). Эффект Доплера заключается в уменьшении высоты и уширении резонансных пиков радиационного захвата урана-238 (рис. 28). 238U имеет 52 резонансных уровня в зависимости микросечения радиационного захвата от энергии (температуры) нейтронов: 8 сильных (высоких и узких) и 44 слабых (низких и широких).

Рис. 28. Уширение резонанса (к эффекту Доплера, площади под кривыми равны)

С ростом температуры вероятность радиационного захвата эпитеплового нейтрона увеличивается вследствие более интенсивного колебания нуклонов внутри ядра и ослабления их взаимодействия. Возникает уширение, размытие уровней энергии ядра: для энергии пика резонанса микросечение (вероятность) захвата с ростом температуры снижается (рис. 28), но для диапазона энергий, примыкающих к энергии пика резонанса микросечение (вероятность) захвата возрастает. Отсюда рост вероятности резонансного радиационного захвата нейтронов в уране-238 в целом с ростом температуры.

По аналогии вводится резонансный интеграл делений, где усреднение проводится по спектру Ферми (с весом 1/E)

125

5.ТЕОРИЯ ЗАМЕДЛЕНИЯ НЕЙТРОНОВ

ВДИФФУЗИОННО-ВОЗРАСТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

5.1.Уравнение замедления в диффузионном приближении

идиффузионно-возрастном приближении

До настоящего времени мы рассматривали

-диффузию моноэнергетических нейтронов в среде конечных размеров, т.е. без учета обмена энергии с ядрами;

-непрерывное замедление нейтронов в однородных (гомоген-

ных) бесконечных средах с равномерно распределенными источниками нейтронов, т.е. в отсутствии диффузии.

Впоследнем случае, если среда конечна, ядерно-физические свойства среды неоднородны и/или источники нейтронов распределены по среде неравномерно, все величины, входящие в уравнение баланса нейтронов будут зависеть не только от энергии нейтронов, но и от пространственных координат. Баланс нейтронов в единице объема фазового пространства dVdE будет определяться скоростями четырех процессов или уравнением замедления в диф-

фузионном приближении:

(1)+ (2) + (3) + (4) = dndt = 0

где (1) – утечка нейтронов в результате пространственной диффузии, определяемая выражением (3.17):G

−divJ (r , E)dVdE = D Ф(r , E)dVdE , D ≠ f (r ) ;

(2) – убыль нейтронов в результате процессов поглощения и рассеяния: −Σ(rG, E)Ф(rG, E)dVdE , где Σ(rG, E) = Σs (rG, E) + Σa (rG, E) ;

(3) – прибыль нейтронов в результатеG генерации нейтронов внешними источниками мощностью S(r , E) : S(r , E)dVdE ;

(4) – прибыль нейтронов в интервал dVdE (dV=dxdydz и (E;E+dE)) в результате замедления (упругого рассеяния) из интервалов энергии dE/, лежащих выше интервала dE с энергией Е, опре-

126

деляется интегралом столкновений, входящим в уравнение замед-

ления (3.94):

Решение интегро-дифференциального уравнения (5.1) весьма затруднительно. Уравнение замедления в диффузионно-возраст- ном приближении получается из уравнения (5.1) преобразованием

внем интеграла столкновений со следующими допущениями:

-рассматривается асимптотическая область энергии (область сильного замедления) нейтронов, т.е. область энергий нейтронов, удаленная от энергий внешних источников на значительное число (>3) ступенек замедления;

-среда, в которой происходит замедление, состоит из тяжелых ядер (А>1), причем, чем тяжелее ядра, тем точнее возрастное приближение.

Для упрощения уравнения (5.1) функцию плотности рассеяний представляют через переменную летаргии, так как по шкале летаргии в случае бесконечной непоглощающей среды эта функция строго постоянна, а в среде с поглощением 20–30 % нейтронов меняется медленно и монотонно.

Данная функция в асимптотической области имеет вид (4.68):

с переходом на переменную летаргии согласно (4.53).

Если представить, что поглощение в среде мало, а источники в среде расположены с небольшой неоднородностью, то зависимость Fs (u) от летаргии будет слабая. Разложим функцию Fs (u) в ряд

где u и u′ – соответственно летаргия до и после рассеяния нейтрона на ядре. Отсюда (см. (4.19)) становится ясно, что чем тяжелее ядро, тем меньше ступенька замедления α и тем точнее будет диффузи- онно-возрастное приближение с разложением (5.3).

Домножим уравнение (5.1) на Е, и с учетом формул (4.33) и (4.53) Ф(u) = EФ(E) получим

127

Используем следующие формулы для перехода к летаргии u′ в

(знак «–» – летаргия растет, а энергия убывает, и наоборот). Тогда выражение под знаком интеграла примет вид

Впределах интегрирования энергии Е соответствует летаргия u,

аэнергии Е/α соответствует выражение:

Окончательно после перехода к переменной летаргии получим

Подставим интеграл столкновений в (5.5) разложение в ряд Тэйлора (5.3)

128

Интегралы вычислялись с использованием замены U = (u −u′) и

Уравнение (5.5) с учетом вычисленных интегралов (5.6) примет вид уравнения замедления в диффузионно-возрастном приближении:

5.2.Возраст нейтронов. Уравнение возраста, граничные

ипрочие условия для нахождения решения уравнения возраста

Используя функцию плотности замедления (4.58) с учетом проведенных выше преобразований для интеграла столкновений в ви-

129

С введением вместо летаргии u новой переменной – возраста

где 1 = Σa , индекс «τ» у длины диффузии L указывает на зависи-

L2τ D

мость от энергии и летаргии Σa = f (E) = f (u) и D = f (E) = f (u) . Уравнение возраста (5.12), по-прежнему, представляет собой

после ряда преобразований и замен переменных уравнение баланса скоростей нейтронных реакций в единичном фазовом объеме (5.1), но в окрестности фазовой точки (r,τ) . В уравнении возраста (5.12)

слагаемые по смыслу аналогичны слагаемым (5.1):

(1)– скорость изменения плотности замедления в результате пространственной диффузии;

(2)– скорость изменения плотности замедления в результате поглощения нейтронов в среде;

(4)– скорость изменения плотности замедления в результате упругого рассеяния нейтронов.

В качестве базы для вывода уравнений (5.7), (5.12) использовалось уравнение диффузионного приближения (5.1), поэтому пределы применимости уравнения в диффузионно-возрастном приближении определяются и всеми пределами применимости диффузионного приближения, рассмотренными ранее (среды с малым поглощением и удаленность от источников и границ раздела сред с

130