Суммирование погрешностей

Общая абсолютная погрешность измерения всегда содержит две составляющие: систематическую погрешность_си случайную погрешность_сл

Можно оценить величину _с(п.4) и отдельно оценить величину. Как после этого найти суммарную погрешность?

Общая абсолютная погрешность находится по формуле

. (1.3)

Сложение погрешностей можно интерпретировать и графически (рис. 1.2). Общая погрешность равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются_си_сл.

Покажем, что часто при сложении погрешностей формулой (1.3) можно и не пользоваться. Пусть одна из погрешностей, например _с, в 2 раза меньше, чем другая_сл.Тогда, согласно формуле (1.3),

=.

Видно, что абсолютная погрешность в этом случае лишь на 10% больше, чем случайная. То есть если бы систематической погрешности вообще не было, то в нашем примере это мало бы повлияло на общую абсолютную погрешность. Теперь учтем, что погрешность редко удается оценить с точностью лучше чем 10-20%, тогда в нашем случае можно положить=_сл, то есть систематической погрешностью_сможно вообще пренебречь.

Из сказанного вытекают следующие правила измерений:

1. Если систематическая погрешность в два и более раз больше, чем случайная, то случайной погрешностью можно пренебречь; большое количество измерений при этом проводить нецелесообразно, так как _сне уменьшается при увеличенииn. Итак, если_с_сл, то_с(при этом достаточно провести три-четыре измерения только для того, чтобы убедиться, что показания прибора повторяются без случайных отклонений).

2. Если, наоборот, случайная погрешность более чем в 2 раза превышает систематическую, то систематической погрешностью можно пренебречь, то есть если _сл_с, то _сл (желательно провести побольше измерений для уменьшения _сл).

3. Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы, то следует их суммировать по формуле (1.3) или графически по рис. 1.3. (Количество измерений целесообразно увеличить для уменьшения _сли перехода к случаю 1).

Принимая во внимание, что вместо _слможно взять её оценку, то формула (1.3) примет вид:

На схеме (рис. 1.3) обобщены методы определения погрешности при прямых измерениях.

Правила округления погрешности и результата измерения

Рассчитывая значения систематической, случайной и суммарной погрешностей, особенно при использовании электронного калькулятора, получают значение с большим числом знаков. Однако исходные данные для этих расчетов всегда указываются с одной или двумя значащими цифрами. Действительно, класс точности прибора на его шкале указывается не более чем с двумя значащими цифрами, а среднее квадратичное отклонение не имеет смысла записывать с более чем двумя значащими цифрами, так как точность этой оценки при 10 измерениях не выше 30%.

Вследствие этого и в окончательном значении расчетной погрешности должны быть оставлены только первые одна – две значащие цифры.

При этом необходимо учитывать следующее. Если полученное число начинается с цифры 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 30 – 50%), это недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, то есть указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.

В итоге можно сформулировать правила округлениярассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения:

1. Абсолютная погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, – если первая есть 3 и более.

2. Среднее значение измеренной величины округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

3. Относительную погрешность, выраженную в процентах, достаточно записать двумя значащими цифрами.

4. Округления производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления будут с одним-двумя лишними знаками.

Пример: На вольтметре класса точности 2,5спределом измерений 300Вбыли произведены несколько повторных измерений одного и того же напряжения. При этом оказалось, что все замеры дали одинаковый результат 267,5В.

Отсутствие различий между знаками говорит о том, что случайная погрешность пренебрежимо мала, поэтому суммарная погрешность совпадает с систематической (см. рис. 1.3 а).

Сначала найдем абсолютную, а затем относительную погрешности. Абсолютная погрешность градуировки прибора равна:

Так как первая значащая цифра абсолютной погрешности больше трех, то это значение должно быть округлено до 8 В.

Относительная погрешность:

В значении относительной погрешности должны быть сохранены два значащих разряда 2,8%

Таким образом, в окончательном ответе должно быть сообщено “Измеренное напряжение U=(268+8) В при относительной погрешности _U=2,8% ”.