Конспек лекцій ВНС
.pdf
Внормальних проекціях нормальна сітка співпадає з основною, тобто сіткою меридіанів і паралелей, положення яких характеризується географічними координатами φ, λ.
Вкосих і поперечних проекціях нормальна сітка не співпадає з основною.
Нормальною сіткою в цих проекціях є сітка вертикалів і альмукантаратів.
Вертикали це великі кола, які перетинаються в точках полюса косої або поперечної проекції Q(φ0, λ0). Положення вертикала на поверхні визначається азимутом α, який дорівнює двогранному куту між площинами поточного і початкового вертикалів. Початковим називається вертикал, який співпадає з меридіаном полюса косої або поперечної системи координат, тобто має довготу λ0.
Альмукантарати – малі кола, перпендикулярні до вертикалу, і їх положення на поверхні визначається координатою Z.
Сітку вертикалів і альмукантаратів можна розглядати, як зміщену сітку меридіанів і паралелей в якій географічний полюс P замінений полюсом косої або поперечної проекції координат Q.
Загальна теорія циліндричних проекцій
Нормальна сітка циліндричних проекцій має вигляд взаємо перпендикулярних прямих, меридіани розміщені на однаковій відстані один від одного, а паралелі – прямі, віддалі між якими змінюються в залежності від властивостей проекції.
Загальні формули проекцій:
хy
f ( )
, де = const (параметр проекції).
За вісь х тут вибирають один з меридіанів, за вісь у – екватор або одну з паралелей.
Функцію f, яка визначає абсцису проекції, знаходять за однією з необхідних для побудови картографічного зображення умов: відсутності спотворень кутів, площ чи масштабів довжин вздовж меридіанів проекції. Тому у відповідності з поставленими умовами циліндричні проекції можуть бути рівнокутними, рівновеликими чи рівнопроміжними вздовж меридіанів. Крім перерахованих до циліндричних відносяться проекції з заданим розподілом спотворень і перспективно-циліндричні, які отримують геометричним шляхом.
Поверхнею картографування в цих проекціях є або поверхня еліпсоїда або куля.
Головні напрями в нормальних циліндричних проекціях співпадають з меридіанами і паралелями, тому масштаби вздовж меридіанів і паралелей екстремальні.
Загальні формули нормальних циліндричних проекцій:
1)х f |
2) y |
const |
3)m |
e |
|||
M |
|
|||
|
|
2 |
||
dx |
||||
|
||||
e |
|
|
|
|
d |
|
|||
m |
|
dx |
|
|
Md |
||||
|
||||
4)n |
|
|
q |
|
|
|
r |
|
|
|
|
2 |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
q |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
r |
|
|
||
|
|
|
||
5)p ab mn
6)sin a b 2 a b
|
|
|
|
|
a |
tg 45 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
b |
де а і b – екстремальні масштаби довжин.
При отриманні параметра ставлять вимогу, щоби головний масштаб зберігався на паралелях з широтою k. Згідно з цією умовою:
n |
|
|
|
||
k |
|
r |
|
|
|
|
|
k |
1
, звідки
= rk – тобто параметр має бути рівним радіусу
головної паралелі.
Якщо φk=0° то β=a, де a – велика піввісь еліпсоїда. Для кола β=R.
Спотворення в нормальних циліндричних проекціях є функціями лише широти, тому ізоколи спотворень (кутів, площ) співпадають з паралелями і мають вид прямих.
Нормальні циліндричні проекції слід використовувати для зображення територій, які витягнуті вздовж екватора.
Рівнокутні нормальні циліндричні проекції
В цих проекціях абсцису х знаходять за умови незалежності масштабу довжини від напрямку, тобто за умови: m = n.
Так як
dx |
|
|
, то |
|
Md |
r |
|||
|
|
dx |
M d |
|
r |
||
|
|
M d |
|
N cos |
||
|
, звідки
x
Md N cos
,
|
|
Md |
|
|
|
|
|
|
1 esin |
e |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відомо, що |
|
|
ln U , звідки |
U tg 45 |
|
|
|
|||
N cos |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 sin |
|
||
|
|
|
x |
|
|
k , |
|
|
||
|
|
|
|
|
lg U |
|
|
|||
|
|
|
|
Mod |
|
|
||||
де k – постійна інтегрування, якщо вісь у сумістити з екватором, то k = 0
Mod = 0,43429448
lgMod = 9,63778431
x |
|
lg U , де U |
|
Mod |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
tg |
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tg |
e |
45 |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, а sin = e sin
Mod = ln
1 |
ln10 |
0, 232585 |
|
Mod |
|||
|
|
Для поверхні кулі:
x
|
lg tg |
|
45 |
Mod |
|
||
|
|
|
2
.
Таким чином загальні формули рівнокутних циліндричних проекцій:
|
|
|
tg |
45 |
|
/ 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1)x lnU , |
U |
tg |
e |
45 |
|
/ 2 |
, |
sin e sin |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
lgU |
, |
|
|
Mod lg e |
|
|||||
|
Mod |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) y , |
r |
|
k |
3)m n |
|
r |
|
4) p m2 |
|
5) 0 |
|
e – ексцентриситет еліпсоїда
Рівнокутні циліндричні проекції відомі під назвою проекцій Меркатора – нідерландського картографа XVI ст. вони відрізняються одна від одної лише параметром , який впливає на величину координат і розподіл спотворень.
В проекції можуть бути дві головні паралелі з широтами ±φk, тоді β = rk, і одна головна паралель, тоді β = a (великій осі еліпсоїда) або β = R (радіусу кулі).
Miнімальний масштаб довжин буде на екваторі, тому віддалі між паралелями із збільшенням широти зростає. Географічний полюс в цих проекціях не існує.
Нормальні рівнокутні циліндричні проекції використовують для створення морських навігаційних карт, так як вони мають властивість локсодромічності.
Локсодромія і ортодромія
Локсодромією називають лінію, яка перетинає меридіани картографічної сітки (в проекції) під одним і тим же кутом. В рівнокутних циліндричних проекціях локсодромія зображується прямою лінією. За локсодpомiєю зpучно визначати напpям pуху коpаблiв у вiдкpитому океанi. На глобусі ця лінія має вигляд спіралі.
Ортодромія – найкоротша віддаль між двома точками. Такою вiдстанню є дуга великого кола, що з’єднує певнi об’єкти (пункти). Велике коло пpоходить чеpез центp земної кулi. На каpтi довжину оpтодpомiї легко вимipяти, якщо вона зобpажена пpямою. Такою оpтодpомiя є в ноpмальних азимутальних гномонiчних пpоекцiях, зpучних для навiгацiйних каpт пpиполяpних pайонiв. На каpтах, складених в iнших пpоекцiях, оpтодpомiя кpиволiнiйна. Так, в пpоекцiї Меpкатоpа вона є кpивою, опуклою до найближчого полюса.
Ортодромія і локсодромія на глобусі і карті
Проекція Меркатора зберігає напрямок, але не відстані. Ця проекція є дуже важливою, коли ви рухаєтеся за компасом. Оскільки компас можна розмістити безпосередньо зверху карти для одержання напрямків. Одним з невід’ємних недоліків проекції Меркатора є те, що вона не зберігає відстані. Наприклад, ми можемо прокласти напрямок за компасом між двома пунктами. Однак, лінія постійного напрямку, за якою ми слідуватимемо (відома як локсодрома або лінія румба), буде значно довшою, ніж більш прямий шлях, який має різний
напрямок, однак слідує за вигином Землі (відомий як ортодрома або шлях великого кола).
Локсодромію і ортодромію називають лініями положення; їх використовують для розв’язування практичних задач по картах.
Отримаємо рівняння локсодромії для поверхні, яку картографують і для рівнокутної циліндричної проекції.
на поверхні |
в проекції |
На поверхні
tg |
dS |
|
rd |
n |
|
||
|
|
|
|
|
dS |
|
Md |
|
m |
|
|
або
d tg |
Md |
tg |
|
M |
d |
|||||
r |
N cos |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
B |
|
|
B |
M |
|
|
|
||
d tg |
N cos |
d |
|
|||||||
|
A |
|
|
A |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
після інтегрування отримаємо
B A tg lnUB lnU A
Для поверхні сфери замість U запишемо tg(45°+φ/2), точку А за початкову
(φA=0; λА=0).
Тоді рівняння локсодромії на сфері буде мати вигляд
tg lntg 45 / 2 |
||
|
|
|
Потенціюючи одержимо |
/ 2 e |
|
tg 45 |
ctg |
|
|
|
|
де e – основа логарифму натурального.
Отже локсодромія це спіралевидна крива з асимптотичною точкою в полюсі.
В рівнокутній циліндричній проекції
tg y |
B |
y |
A |
/ x |
B |
x |
A |
|
|
|
|
|
|
рівняння прямої.
Рівновеликі нормальні циліндричні проекції
В рівновеликих циліндричних проекціях абсцису х знаходять за умови збереження співвідношення площ на еліпсоїді та в площині карти (проекції), тобто
p m n 1 |
|
(1) |
|||
x |
f ; |
|
y |
||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
; |
n |
|
|
Md |
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
r |
||
тому
p |
dx |
1 |
(2) |
|||
|
|
|
||||
Mr d |
||||||
|
|
|
||||
звідки
dx |
Mr |
d |
(3) |
|
|||
|
|
|
|
Оскільки рівновеликі циліндричні проекції використовують при створенні оглядових дрібномасштабних карт, тому поверхню картографування доцільно приймати за сферу радіусом R. Тоді:
|
R |
2 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
d |
(4) |
|
|
|
|
|
після інтегрування
|
R |
2 |
|
|
|
x |
|
sin C |
(5) |
||
|
|||||
|
|
|
|||
Так як вісь Y співпадає з екватором то постійна С = 0. Тоді
|
R |
2 |
|
|
|
x |
|
sin |
(6) |
||
|
|||||
|
|
|
|||
Таким чином загальні формули рівновеликих циліндричних проекцій:
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
x |
|
|
sin ; |
|
y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в проекції з двома головними паралелями (n=1) φk, |
β=R cos φk |
|||||||||||||||
x Rsec |
k |
sin ; |
|
|
y R cos |
k |
7 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в проекції з одною головною паралеллю |
β=R |
при φk =0 |
||||||||||||||
x R sin; |
|
|
y R |
|
|
|
8 |
|||||||||
n |
|
|
|
rk |
|
|
m |
1 |
|
r |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
n |
rk |
|
|
||||
p 1 |
|
|
|
|
tg(45 |
|
/ 4) a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де β=const, а – максимальний масштаб довжин.
Отже, в проекціях з двома головними паралелями з широтами ± k масштаби довжини m = n = 1; а в проекції з = 0°(з одною головною паралеллю) масштаби рівні 1 на екваторі. Масштаб вздовж паралелей (n) від екватора до полюсів збільшуються, m масштаб вздовж меридіанів – зменшується, тому віддалі між паралелями зменшуються при віддаленні від екватора. Полюси відображаються лінією.
Рівновелика циліндрична проекція з одною головною паралеллю (зберігається довжина екватора ( = R) називається ізоциліндричною.
x R sin ; |
y R |
n sec |
m |
1 |
cos |
(9) |
|
n |
|||||
|
|
|
|
p 1 |
tg(45 |
|
/ 4) n sec |
|
|
|
Рівнопроміжні вздовж меридіанів нормальні циліндричні проекції
В цих проекціях абсцису х знаходять за умови збереження довжини всіх меридіанів, тобто
m |
dx |
1 |
(10) |
|
Md |
||||
|
|
|
для сфери
m |
dx |
1 |
(11) |
|
Rd |
||||
|
|
|
звідси
dx Rd
після інтегрування
x R C
де С – постійна інтегрування.
Якщо вісь Y співпадає з екватором то C = 0 і x=Rφ, тобто абсциси проекції рівні випрямленим дугам меридіанів. Загальні формули:
x R ; |
y R |
(12) |
n p / r rk / r |
m 1 |
|
sin( / 2) |
a b / a b |
|
де a і b –екстремальні масштаби довжин.
Якщо rk R cos k то
x R ; |
y R cos k |
(13) |
якщо R при k 0 то
x R; |
y R |
(14) |
Формули (14) описують проекцію, яку називають квадратною, масштаби і спотворення кутів в цій проекції обчислюють за формулами:
n p sec |
m 1 |
(15) |
sin( / 2) sec 1 / sec 1 tg |
2 |
/ 2 |
|
|
|
sin( / 2) a b / a b |
|
|
Перспективно-циліндричні проекції
Циліндричні проекції можуть бути одержані геометричним шляхом і вони будуть мати всі властивості циліндричних проекцій.
Представимо циліндр, вісь якого співпадає з полярною віссю поверхні, яку картографують (куля) і перетинає її на широтах ± k. Цей циліндр може перетинати кулю або дотикатись до неї по екватору.
Спроектуємо дуги меридіанів на стінки циліндра окремо в площині кожного меридіану у відповідності із заданою частотою картографічної сітки. При цьому точка, з якої виконується проектування (D) буде пересуватися в площині екватора від одного меридіану до іншого (D), залишаючись на одній і