Конспек лекцій ВНС

тій же відстані від центра кулі. З’єднавши спроектовані точки меридіанів і паралелей лініями і розвернувши бічну поверхню циліндра одержимо на площині картографічну сітку нормальної перспективно-циліндричної проекції. Якщо прийняти за вісь Х один з меридіанів, а за вісь Y – екватор або паралель, то формули прямокутних координат цієї проекції будуть

Меридіани і паралелі в цій проекції будуть представлені двома системами взаємно перпендикулярних прямих; віддаль між меридіанами визначається як і в нормальних циліндричних проекціях, а між паралелями – за методом перспективних проекцій.

Значення абсциси х знаходять геометричним шляхом.

Розглянемо рис. На рисунку т. A′ є проекцією т. А на бокову поверхню циліндра з точки g. Якщо початок координат перспективно-циліндричної проекції сумістити з площиною екватора, то відрізок A′A′3 буде абсцисою х т. А в проекції. З подібності трикутників gA′A′3 і gAA3 отримаємо

Якщо прийняти співвідношення D/R=k, то формула (19) приймає вигляд:

Величина k+cos k=С постійна для конкретної проекції, тоді:

Таким чином загальні формули перспективно-циліндричної проекції:

циліндр дотикається до кулі по екватору.

Картографічна сітка – ортогональна, а тому масштаби m і n є екстремальні.

За характером спотворень ці проекції довільні. Вони відрізняються одина від одної широтою k паралелі, по якій циліндр перетинає кулю і віддалю D точки g з якої виконується проектування від центру кулі C.

Розглянемо декілька часткових випадків:

1. Проекція Уетча (циліндр дотичний k=0°, проектування по методу гномонічних проекцій k=0, тобто з центру кулі D=0)

2. Проекція Брауна (циліндр дотичний k=0°, проектування по методу стереографічних проекцій k=1, тобто проектування з протилежного боку кулі:

D=R)

3. Проекція Голла (циліндр перетинає кулю по широті k=45°, k=1, D=R)

Загальна теорія конічних проекцій

Внормальних конічних проекціях меридіани – прямі лінії, які сходяться в одній точці під кутами пропорційними різниці відповідних довгот, а паралелі – дуги концентричних кіл, центр яких співпадає з точкою сходу меридіан.

Вкосих і поперечних проекціях же вид мають вертикали і альмукантарати,

америдіани і паралелі зображуються складними лініями.

Практичне використання знайшли тільки нормальні проекції.

Рівняння конічних проекцій в загальному вигляді виражаються в плоских прямокутних координатах (x, y) і полярних координатах (ρ – полярний радіус, δ

– полярний кут).

За початок прямокутної системи координат приймають точку перетину середнього меридіана з південною паралеллю зображуваної території (точка

О).

Полюс полярних координат суміщений з точкою перетину меридіанів, а полярна вісь – з одним з меридіанів, який одночасно є віссю Х від якої ведеться рахунок довгот. (рис.).

Таким чином рівняння проекції:

де q – const – віддаль між полюсом і початком прямокутних координат (дорівнює радіусу південної паралелі); ρ – радіус паралелі який є функцією широти. Параметр α завжди менший одиниці, тобто паралелі зображуються неповними колами (α=1 – азимутальні, α=0 циліндричні проекції)

Головні напрями співпадають з меридіанами і паралелями. Вид функції f, яка визначає полярний радіус ρ, знаходять в залежності від заданих умов – рівнокутного, рівновеликого чи рівнопроміжного зображення вздовж меридіанів. У відповідності з цими умовами конічні проекції поділяються на рівнокутні, рівновеликі та довільні (як частковий випадок рівнопроміжні). В залежності від виду функції визначають і другий параметр q. В рівнокутних і рівновеликих проекціях він має певний геометричний зміст – це радіус екватора в прекції.

Так як сітка меридіанів і паралелей ортогональна, то головні напрямки співпадають з меридіанами і паралелями і масштаби m і n будуть екстремальні.

На основі визначення для часткового масштабу і згідно рисунка 2 запишемо:

так як

Знак мінус показує що із збільшенням φ радіус ρ зменшується.

Масштаб площ

В залежності від розмірів території і способу визначення параметрів в конічній проекції є одна або дві паралелі, довжини яких не спотворюються. Такі паралелі називаються головними.

Аналіз формул для m, n, p, ω показує, що спотворення в конічних проекціях є функцією лише широти φ (залежить тільки від широти), тому ізоколи спотворень співпадають з паралелями і є дугами кіл.

Нормальні конічні проекції вигідні для зображення територій витягнутих вздовж паралелей і розташованих в середніх широтах. Але їх широко використовують і для територій різної конфігурації розташованих не тільки в середніх широтах, але в північних і середніх широтах (але не в полярних районах).

Рівнокутні нормальні конічні проекції

Врівнокутних нормальних конічних проекціях полярний радіус ρ знаходять

зумови рівнокутного відображення, тобто

Враховуючи формули (2) запишемо

або

Умова (12) буде виконуватися, якщо

Отже на широті φ0 масштаб буде мінімальний. Масштаби довжин, так як і проміжки між паралелями збільшуються від паралелі φ0 в обидві сторони (швидше в сторону полюса).

Розглянемо декілька способів знаходження сталих α і C.

1) Частковий масштаб довжин n0 на головній паралелі з широтою φ0 (як правило середня для території) найменший і дорівнює одиниці. Тоді

а

або

Рівнокутну конічну проекцію з одною заданою головною паралеллю використовують для територій менше 6°−8° по широті. В цьому випадку спотворення не перевищать 0,2%.

2) Частковий масштаб довжин n0 на головній паралелі з широтою φ0 найменший і дорівнює одиниці, а часткові масштаби з широтами φпд. і φпн. рівні між собою, тобто nпн.=nпд. Тоді

або

Логарифмуємо

Існує ряд інших способів визначення сталих.

Рівновеликі нормальні конічні проекції

Умова рівновеликого відображення

Підставивши значення m і n з (1) одержимо

звідки

де S – площа сфероїдної трапеції з різницею довгот 1° і протяжністю по широті від екватора до паралелі з широтою φ.

Якщо прийняти С=c 2/α, то

де с – другий параметр проекції.

Отже формули для рівновеликих конічних проекцій будуть мати вигляд

Так як друга похідна (nφφ)0>0 на паралелі з широтою φ0 масштаб n0 буде мінімальний.

Часткові масштаби по меридіанах m=1/n і зменшуються від паралелі φ0 в обидві сторони, але до полюса швидше. Відповідно і проміжки між паралелями в сторону полюса зменшуються швидше, ніж до екватора.

Розглянемо способи знаходження постійних α і с.