Конспек лекцій ВНС

1) Частковий масштаб довжин n0 на головній паралелі з широтою φ0 min і дорівнює 1.

Звідки

Рівнопроміжні вздовж меридіанів нормальні конічні проекції

В цій проекції ρ=f(φ) визначається при умові збереження масштабу довжин вздовж меридіанів.

Тоді

після інтегрування

d Md ,

або

де S – довжина дуги меридіану від екватора до паралелі з широтою φ, с – параметр, який виражає радіус екватора в проекції (при φ=0, S=0, ρекв.=с). Полюс зображується дугою кола ρ=с-S0°90°.

Отже рівняння рівнопроміжних конічних проекцій

Розглянемо способи визначення α і с.

1) Масштаб n0 на головній паралелі із заданою широтою φ0 є найменшим і дорівнює 1, тобто n0=1.

З врахуванням (19)

/ sin 0 1

sin 0

а

сS0 N0ctg 0

2)Часткові масштаби довжин n1 і n2 на двох головних паралелях з широтами φ1 і φ2 дорівнюють 1, тобто n1=1; n2=1.

Тоді

Звідки

Віднімемо від першої другу формулу одержимо

або

Загальна теорія азимутальних проекцій

Азимутальні проекції є частковим випадком конічних проекцій, в яких параметр α рівний одиниці. Азимутальні проекції застосовуються для карт дрібного масштабу, тому поверхню картографування тут приймають за кулю з радіусом R.

Азимутальні проекції діляться а нормальні (φ0=90°), косі (0°<φ0<90°) і поперечні (φ0=0°). Полюс сферичної системи координат Q (φ0, λ0) вибирається в центральній точці.

Ці проекції можна отримати або аналітично, коли вони задаються різними властивостями зображення, або геометричним способом з використанням лінійної перспективи (ці проекції називаються перспективними).

Нормальна сітка азимутальної проекції складається з меридіанів, які мають вигляд прямих ліній, що перетинаються в одній точці (т. полюсу) під кутами, рівними різниці відповідних довгот λ, та паралелей – концентричних кіл з центром в точці перетину меридіанів. Проміжки між паралелями визначаються прийнятим характером зображення або способом проектування точок поверхні в перспективно-азимутальних проекціях.

В косих і поперечних проекціях такий самий вигляд мають вертикали і альмукантарати, а меридіани і паралелі зображуються кривими лініями.

Система координат в нормальних азимутальних проекціях

Отримання косих і поперечних азимутальних проекцій відбувається в декілька етапів:

1)для карт великих і середніх масштабів – перехід від еліпсоїда до кулі, а для карт дрібних масштабів вибір радіуса кулі R;

2)визначення координат φ0 і λ0 полюса Q полярних сферичних координат, який зазвичай вибирають в центральній точці території;

3)перехід від координат φ і λ до полярних координат Z і a, косої або поперечної проекції;

4)обчислення координат проекції, часткових масштабів і спотворення

кутів.

Вцих проекціях використовуються дві системи плоских координат: полярні (ρ − полярний радіус, δ − полярний кут) і прямокутні – x, y. Початок прямокутної системи координат співпадає з полюсом полярних координат

(рис.).

Загальні формули азимутальних проекцій запишемо для випадку косих проекцій, як найбільш загальних.

де μ1 – частковий масштаб довжин вздовж вертикалів; μ2 – частковий масштаб довжин вздовж альмукантаратів; а і b – екстремальні масштаби довжин.

Формули нормальних азимутальних проекцій можна одержати, якщо в (1) замінити Z на (90°-φ) і а на λ, тобто

Значення функції, яка визначає полярний радіус ρ визначається в залежності від умов зображення рівнокутного, рівновеликого чи рівнопроміжного по вертикалах (меридіанах).

Так як в азимутальних проекціях вертикали і альмукантарати взаємно перпендикулярні, то з ними співпадають головні напрямки і масштаби μ1 та μ2 будуть екстремальні μ1=а, μ2=b.

Масштаби і спотворення є функціями тільки Z (широти φ) і мають вигляд

кіл.

Нормальні азимутальні проекції використовують для зображення полярних областей. Частіше використовуються косі і поперечні проекції для карт материків західної і східної півкуль.

Рівнокутні азимутальні проекції

Визначимо ρ з умови

В рівнокутній проекції віддаль між альмукантаратами (паралелями) збільшується з віддаленням від центральної точки проекції. Нормальна азимутальна проекція використовується для створення карт зоряного неба.

Рівновеликі азимутальні проекції

Величину ρ знаходимо з умови

p=μ1μ2=1 (11)

Підставимо значення μ1 і μ2 в (11) одержимо

звідки

Інтегруючи (13) одержимо

Постійну С знайдемо з умови, що в центральній точці проекції (Z=0) ρ=0 і тоді

С=R2

Формули рівновеликої косої азимутальної проекції будуть мати вид

В цьому випадку всі спотворення в центральній точці проекції (Z=0) відсутні.

Замінити в (17) Z на (90°-φ) і a на λ то отримаємо формули рівновеликої нормальної азимутальної проекції

Вцьому випадку спотворення будуть відсутні в точці географічного полюса

(φ=90°).

Врівновеликій азимутальній проекції (проекція Ламберта) віддаль між альмукантаратами (паралелями) зменшується пропорційно sin(Z/2) від центральної точки.

Коса і поперечна рівновеликі азимутальні проекції широко використовуються для карт півкуль і материків (крім Антарктиди).

Рівнопроміжні вздовж вертикалів (меридіанів) азимутальні проекції

В цій проекції ставиться умова, що масштаб довжин по вертикалах дорівнював 1.

або

d RdZ

Після інтегрування

де C – постійна інтегрування.

Так як при Z=0, ρ=0 то C=0, а отже ρ=RZ, тобто полярний радіус ρ дорівнює випрямленій дузі вертикалу і віддаль між альмукантаратами постійна.

Отже, формули для рівнопроміжної проекції