Конспек лекцій ВНС
.pdf
У попередньому підрозділі було встановлено, що масштаб довжин залежить від азимуту, тобто
|
|
|
|
|
2 |
|
P cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
P |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
y 2 |
; |
|
|
|||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
;
Qsin 2 |
||
|
Q |
|
f |
x x |
|
|
||
|
||
Rsin |
2 |
|
||||
|
||||||
f |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Mr |
|
|
|
|
||
|
y |
y |
; |
|||
|
||||||
|
|
|||||
|
|
(38) |
|
|
|
|
|
R |
g |
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В теорії картографії важливим є дослідження, якою фігурою зобразиться безмежно мале коло на поверхні картографування (еліпсоїді чи кулі) в проекції (на карті). Це дослідження можна наглядно проілюструвати на (рис.3). Вісь Х направимо вздовж зображення меридіану.
Нехай азимуту α1 на поверхні картографування відповідає азимут β1 і масштаб вздовж цього напряму μ1; відповідно азимуту α2 на поверхні картографування відповідає азимут β2 і масштаб вздовж цього напряму μ2 і т.д. Якщо відкласти числові значення цих масштабів з точки А΄ в проекції, яка є зображенням точки А на поверхні картографування (т.1, т.2, т,3 і т.д.) і з’єднати ці точки між собою, то отримаємо криву, яка характеризує зміну масштабу μі від азимуту βі.
Прийнявши точку А΄ за початок прямокутних координат х, у в проекції і одночасно за полюс полярних координат β і μ, запишемо формули зв’язку між ними:
звідки
x cos |
||
cos |
x |
|
|
||
|
||
y sin |
(39) |
||
sin |
y |
(40) |
|
|
|||
|
|
||
Якщо підставити значення формул (40) у формулу (38), то отримаємо формулу рівняння центральної кривої другого порядку
P x |
2 |
2Q xy R y |
2 |
1 |
(41) |
|||||
|
|
|||||||||
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
P |
1 |
|
Q |
1 |
|
R |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
P |
|
1 |
|
Q |
|
1 |
R |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
з цього рівняння визначимо дискримінант
P R Q 2 |
|
M 2 r 2 |
0 |
||
|
|||||
1 |
1 |
1 |
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
який доводить, що досліджувана крива є еліпсом.
Таким чином, безмежно малий еліпс в кожній точці на карті є зображенням безмежно малого кола на поверхні еліпсоїда чи кулі, і він називається еліпсом спотворень.
Величина півосей цього еліпса відповідає екстремальним масштабам, а величина спряжених півдіаметрів масштабам вздовж меридіану і паралелі. Меридіани і паралелі еліпсоїда (сфери) взаємноперпендикулярні.
Запишемо рівняння еліпса
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
2 |
|
b |
2 |
1 |
(42) |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким чином, щоби побудувати еліпс спотворень в тій чи іншій точці проекції необхідно визначити 6 величин: m, n, a, b, i, β0 (в картографічній літературі деколи азимут β0 першого головного напряму позначають символом А0). Застосовуючи до еліпса спотворень положення Аполлонія, отримаємо формули зв’язку екстремальних масштабів з масштабами вздовж меридіанів і паралелей.
Положення 1. Сума квадратів спряжених напівдіаметрів еліпса - величина постійна і рівна сумі квадратів його напівосей.
m |
2 |
n |
2 |
a |
2 |
b |
2 |
(43) |
|
|
|
|
Положення 2. Площа паралелограма, побудованого на спряжених напівдіаметрах еліпса є величиною постійною і рівною площі прямокутника, побудованого на його напівосях.
mnsin i ab |
(44) |
Розв’яжемо сумісно приведені рівняння (43) і (44)
m |
2 |
n |
2 |
2 |
|
|
2mnsin i a b |
||
m2 n2 |
2mn sin i a b 2 |
|||
та введемо додаткові позначення А і B
A a b 
m2 n2 2mnsin i
B a b m2 n2 2mnsin i
звідси екстремальні масштаби а і b
a |
A B |
|
2 |
||
|
b |
A B |
(45) |
|
2 |
|||
|
|
Значення i
|
sin i |
h |
|
|
|
|
||
|
eg |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
h |
eg f |
2 |
|
x |
y |
|
x |
y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Азимут β0
Підставимо у рівняння (42) значення х та у з формул (39)
m2 cos2 |
0 |
|
m2 sin2 |
0 |
1 |
a2 |
|
b2 |
|
||
|
|
|
|
a |
2 |
m |
2 |
b |
2 |
tg |
2 |
|
|
b |
2 |
a |
2 |
m |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
a |
2 |
m |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
a |
|
|
m |
2 |
b |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. Масштаб площ
З визначення масштабу площ (частковим масштабом площ р в картографії називають співвідношення безмежно малої площі на карті (в проекції) dF΄ до безмежно малої площі на поверхні еліпсоїда чи кулі dF). (рис)
dF
p (46) dF
Площа елементарної трапеції на поверхні еліпсоїда, обмеженої нескінченно малими дугами меридіанів і паралелей рівна
dF dSm dSn |
(47) |
на площині(на карті) (в проекції)
dF dS |
dS |
sin i |
(48) |
m |
n |
|
|
Отже, масштаб площ
p |
dS |
dS |
sin i |
|
dS |
|
|
dS |
|
sin i mnsin i |
|
|
m |
|
n |
|
|
m |
|
n |
(49) |
||||
dS |
dS |
dS |
|
dS |
|
|||||||
|
|
m |
|
n |
|
|
||||||
|
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
Відповідно з положеннями Аполлонія m n sini=ab, отже
p=ab
ab – півосі еліпса спотворень
Враховуючи, що i=90°+ε (ε -відхилення кута між меридіанами і паралелями від 90°), отримаємо
p mn cos |
(50) |
Якщо у формулу (49) підставити значення масштабів довжин і синуса кута між меридіаном і паралеллю, тобто формулу (49) виразити через коефіцієнти Гауса та радіуси кривизни меридіана і паралелі
p |
e |
g |
h |
|
h |
(51) |
|
M |
r |
eg |
Mr |
||||
|
|
|
для поверхні еліпсоїда
p |
h |
|
h |
(51a) |
|
Mr |
MN cos |
||||
|
|
|
для поверхні кулі
p |
h |
(51b) |
R2 cos |
7. Максимальне спотворення кутів.
Як правило кут и, утворений двома напрямами на поверхні картографування (еліпсоїд чи куля) (напрямки OA і OB) при зображенні на площині спотворюється і має інше значення и΄ (рис.), згідно з якими
и=180˚-2α,
и΄=180˚-2β.
Спотворення кута таким чином
и΄-и=∆и=2(α-β), або ∆и/2=α-β. |
(52) |
У попередньому підрозділі ми вивели формулу для азимуту β довільного напряму в проекції
tg |
Mhtg |
|
er Mftg |
||
|
який в проекції з ортогональною сіткою вирази:
(
f
0
,
h |
eg |
) буде мати наступні
tg |
Mtg |
eg |
|
M |
g |
tg |
n |
tg |
b |
tg |
(53) |
er |
|
e |
r |
m |
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Звідси
|
a b |
tg |
|
tg tg |
|
||
|
a |
(54) |
|
|
|||
a b |
|||
tg tg |
tg |
||
|
|||
|
a |
|
Якщо розділити перше рівняння на друге і одночасно замінити різницю і суму тангенсів виразами
tg tg |
sin |
(55) |
|
cos cos |
|||
|
|
то отримаємо
sin |
|
a b |
||
|
|
|
|
|
sin |
a b |
|||
звідки
sin sin |
u |
|
a b |
sin |
(56) |
|
|
||||
|
2 |
|
a b |
|
|
Найбільшою величина спотворення ∆и кута буде у випадку, коли
sin 1
В картографії найбільше спотворення кута позначають символом ω.
Отже
sin |
|
|
a b |
(57) |
|
2 |
a b |
||||
|
|
|
або його можна визначити за допомогою інших формул:
cos |
|
|
|
1 sin |
2 |
|
|
2 |
ab |
|||
2 |
|
|
2 |
a b |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
tg |
|
|
a b |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
2 |
ab |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
a |
|
|
|
(58) |
||
tg |
45 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
b |
|
|
|
|
||
Для рівновеликих проекцій (р=1) використовують формулу
|
0 |
|
|
a |
tg 45 |
|
|
||
|
|
|
4 |
|
8. Рівнокутне та рівновелике відображення поверхні еліпсоїда на площині.
В залежності від потреб поверхню картографування можна відобразити за допомогою рівнокутних або рівновеликих за характером спотворень проекцій і в математичній картографії широке застосування отримали саме ці і проекції.
Основною умовою рівнокутного відображення поверхні еліпсоїда на площині є незмінність (незалежність) масштабу довжин від напряму, тобто подібність зображення на еліпсоїді і в проекції в безмежно малих частинах.
Отже, якщо масштаб довжин не залежить від напряму, то його похідна по α (азимуту) від масштабу довжин буде рівною нулю
|
|
2 |
P cos |
Qsin 2 Rsin |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||
d 2 |
R P sin 2 2Q cos 2 0 |
(59) |
||||
d |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
P |
|
e |
|
|
|
M |
2 |
|||
|
|||||
|
|
|
|||
|
|
f |
|
||
|
|
|
|
||
Q |
|
|
|
||
|
|
Mr |
|||
|
|
||||
|
R |
g |
|
||
|
r |
2 |
|
||
|
|
||||
|
|
|
|
||
Ця рівність виконується лише у випадку, коли Q=0 і Р=R.
Отже згідно з формулами для значень коефіцієнтів Р,R,Q
|
f |
0 |
|
|||
|
Mr |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(60) |
||
e |
|
|
g |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
r |
|
|
||
M |
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Таким чином умовами рівнокутового відображення поверхні еліпсоїда на площині (в проекції)
f=0, m2=n2, (m=n)
Отже, в рівнокутних проекціях картографічна сітка меридіанів і паралелей ортогональна, масштаб не залежить від напрямку m=n=a=b і кути не спотворюються ω=0.
Якщо в (60) підставити значення f, e, g
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx dx |
|
dy |
|
dy |
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d d |
d d |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
2 |
|
|
dy |
2 |
|
|
1 |
dx |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
d |
|
d |
|
r |
2 |
|
||||||||||||||||||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dy |
2 |
|
(61) |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Виразимо yλ із першого рівняння і підставимо в друге одержимо
dx |
|
r |
dy |
(62) |
|
d |
M d |
||||
|
|
||||
Аналогічно xλ знайдемо
dy |
|
r dx |
(63) |
|||
|
|
|
|
|||
d |
M d |
|||||
|
|
|||||
Вибираючи знак в (62) і (63) (h – додатна величина) отримаємо рівняння рівнокутних проекцій, які називають рівняннями Коші-Рімана.
У рівновеликих за характером спотворень проекціях зберігається співвідношення площі на карті до відповідної площі на поверхні земного еліпсоїда. Масштаб площі в цьому випадку рівний якійсь постійній величині або його приймають рівним одиниці, тобто
р=1 або р=cоnst.
З формули (51а)
p |
h |
1 |
|
Mr |
|||
|
|
отже умовою рівновеликого відображення є
для поверхні еліпсоїда
h Mr MN cos
для поверхні кулі (M=R, r=Rcosφ)
h R |
2 |
cos |
|
ЗАГАЛЬНА ТЕОРІЯ КАРТОГРАФІЧНИХ ПРОЕКЦІЙ
Картографічні проекції за характером спотворень
За характером спотворень проекції поділяються на рівнокутні, рівновеликі
та довільні.
В рівнокутних проекціях зберігається подібність нескінченно малих частин зображення, отже масштаб довжин не залежить від напрямків
m=n=a=b=μ
і спотворення кутів відсутні ω=0, а масштаб площ дорівнює квадрату масштабу довжин p=a2.
Умови рівнокутності:
f=0; m=n або
x |
|
r |
y |
; |
y |
|
r |
x |
|
|
M |
|
M |
||||||
|
|
|
|||||||
для кулі
x |
cos |
y |
; |
y |
cos |
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
вцих проекціях сильно спотворюються площі.
Врівновеликих проекціях зберігається постійне відношення площ на поверхні і на площині. В цих проекціях масштаб площ
p=m n sin i=a b=h/Mr=const
але в більшості p=1, а тому умова рівновеликості буде h=Mr, а для кулі h=R2cosφ
Екстремальні масштаби довжин обернено пропорційні один одному
a=1/b, b=1/a
tg |
|
|
a b |
|||
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
a |
|
tg 45 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
Якщо картографічна проекція не має властивостей ні рівнокутної, ні рівновеликої то її відносять до групи довільних. В цих проекціях спотворюються і кути і площі.
Серед довільних проекцій слід виділити рівнопроміжні проекції, в яких зберігається екстремальний масштаб по одному із головних напрямків, тобто
a=1 або b=1 і р=b або p=a
Для обчислення максимального спотворення кутів використовують формулу
sin a b
2 a b
Якщо сітка рівнопроміжної проекції ортогональна і головні напрямки співпадають з меридіанами або паралелями, проекції називають рівнопроміжними вздовж меридіанів або рівнопроміжними вздовж паралелей.
Картографічні проекції за орієнтуванням допоміжної геометричної поверхні
(картографічної сітки)
За орієнтуванням проекції можуть бути нормальні, поперечні і косі. В
основу цього визначення покладено значення широти полюса сферичної системи координат φ0. При φ0=90° отримуємо нормальні проекції, при φ0=0° −
поперечні, при 0°<φ0<90° − косі.