2,З.Точність абсолютних визначень маятниковим методом

Як відомо, значення g в пункті спостереження цим методом обчислюють за формулою (2.22)

g^n

2

т²'

Розглянемо вплив похибок вимірювання зведеної довжини £ і періоду коливання Т на точність визначення прискорення сили ваги g. Для цього знайдемо логарифмічну похідну рівняння (2.22.) за змінними Т. £ і g .

£ng = 2Іпж + £п£ - 2£пТ, (2.26)

dg _d£ ^ dT

~g~Y~r ’

(2.28)

впливи обидвох похибок

вимірювання, то тоді одержимо

Якщо покласти рівними і однаковими

і перейдемо відповідно до середньо квадратичних помилок

(2.29)

Для маятників зі зведеною довжиною і = 100см, а Т=1с при заданій помилці m_g=0. ІмГал одержимо допустимі похибки періоду коливання і зведеної довжини

т_т = 3.5*10~⁸с_}

т_е - 0.71*10 ⁵см.

Для маятників (Т=0.5с, і ~0.25м) ці величини будуть такими: ш_т =1.8 10'⁸ с, де^=0.02мкм. Щоб досягти такої точності, зведену довжину вимірюють інтерференційним методом, а період коливання - за допомогою кварцових годинників.

4. Балістичний метод абсолютних вимірювань прискорення сили ваги

Як було відзначено раніше, маятникові абсолютні вимірювання прискорення сили ваги обтяжені рядом систематичних помилок, і одержати результати з високою точністю дуже важко. На основі нових досягнень науки і техніки у 50-60 роках нашого століття почались дослідження щодо конструювання нового типу приладів, що грунтуються на вільному падінні тіла. Балістичний метод абсолютних визначень базується на законі прямолінійного рівноприскореного руху тіла, згідно з яким

де

£₀, v₀ - шлях і швидкість в початковий момент часу, і - шлях, пройдений падаючим тілом,

Якщо £₀ — 0 Vo —0, то

/ - час падіння тіла, g - прискорення сили ваги

Для визначення g необхідно виміряти шлях і і час t, забезпечуючи при цьому падіння тіла в вакуумі При вимірюваннях балістичним методом спостерігають рух тіла на відрізку до їм, щоб забезпечити відносну точність (10 ⁸-10⁹) Але на цьому відрізку прискорення сили ваги змінюється, тому необхідно урахувати вертикальний градієнт сили ваги W---0.3 мГал/'м 3 врахуванням цього для співвідношення (2 ЗО ) запишемо

(2 31)

звідси (2 32)

Останній член, що виражає вплив вертикального градієнта на прискорення сили ваги для вихідних даних £=1 м, £₍₎ =0 05 м, v₀= 1 мс'¹ і t=0 35 с, може досягати 0 08 мГал, що набагато перевищує точність вимірювань балістичним методом Слід say важити, що в формулі (2 32) величини £₀ і V_fl є невідомими, а go-прискорення сили ваги в початку координат Щоб визначити g₀, необхідно зафіксувати як мінімум три положення тіла і розв’язати систему рівнянь вигляду (2 32) Точки траєкторії, в яких фіксується положення тіла, називають станціями Існує декілька варіантів балістичного методу, які ділять на симетричні і несиметричні При симетричних способах спостерігають вільний рух підкинутого догори тіла до вершини траєкторії і вниз При несиметричних способах спостерігають падіння тіла тільки вниз Спочатку' розглянемо несиметричні способи

Несиметричний спосіб трьох станцій

(див рис 4)

В цьому способі фіксують проходження падаючого тіла вниз через три станції

Рис.4. Несиметричний спосіб трьох станцій Використовуючи вираз (2.31) запишемо два рівняння руху:

t W 1 1

Л = A>+V> +£оу + -^о +-^уо^+—g/iК (2.33)

12 ^ j і

*2 =⁽<>+V2+go-^ + -^((o+-'’o^t2⁺— go>2²)‘l (2-34)

Якщо прийняти позначення (див. рис. 4)

Ц — ~ //2 ~ ^2 ~ ^Чг> (2.35)

Ті~ t] - ід , Т-2~ І2~ to ,

A =^V0⁷i + £о

ті	Ж		1		1	\
2	| ZZ 2		+- 3	Vk	12	J	7і2 і j ,
Т2			1		1
	+ ——	k	+ -	у0Г, +			Тj
2	2		3		12	у

(2.36)

(2.37)

то тоді

Остаточна формула для обчислення прискорення сили ваги в початку координат має вигляд

go =2

У. - У, _w

TMTj-TJ ^!

⁺^^vc(7'i +T₂) +

gotf-T,³) 12(T, - 7))

(2 38)

Несиметричний спосіб чотирьох статий

Рис 5 Несиметричний спосіб чотирьох станцій

Нехай тіло рухається вниз і в моменти 1о, її, І2 h проходить чотири станції на віддалі £ ₀ ,С,, ^ ₂, ^, від початку координат

Шляхи Lj J L2 так підібрані щоб тіло проходило їх за один і той же самий час 1 ~h-lо, 1?-12 Різниця часх між моментами /_? / /у позначена через т , і її називають паузою в спостереженнях Як і в способі для трьох станцій можна записати таю очевидні три рівняння рухз

(2 39)

+ < , я₍Л²)'Л

* з = < о + Vs + So у + ^(? о + J ■Vs + ^ goh² W-■

Згідно з позначеннями на рис. 5 знайдемо Ц — v₀t_] +-~g₀t_} + —W_ZZ(£₀ +-v₀^ + —g₀^ti )A ’

h = V₀ (Г, - h ) + і & ft² - // ) +1 [/ „ (/,² - ) +

+ 7^Vo(^³ -^2³) + т!г^о('з⁴ -C)]- j 12

Тоді одержимо вираз для gc

& = ~7^\ - ^W« Ко + Ь„(Г + г) + і а (77-^:2 + 7Тт + 2г²)]. 1 (і + г) 2 12

(2.40)

(2.41)

(2.42)

(2.43)

(2.44)

Симетричний спосіб двох станцій

Ідея цього способу полягає в тому, що фіксується проходження тіла через нерухомі горизонтальні площини двох станцій (див. рис. 6) спочатку при русі догори, а потім при русі вниз.

/₃ -t₀ т .

Шлях І2 від нижньої станції до вершини траєкторії за час —-— - — і шлях 11

т t₂ - t_x

1 +w„

2 І 2

Zo.fl

24 І 2

(2.45)

"-Y

<2)

+ W,

—

24 UJ'

(2.46)

від верхньої станції до вершини траєкторії за час — = відповідно дорівнюють

д = /₂

V 4 4у

+ W_a^-

24

^ґ'Ґ т⁴')

16 16

(2.47)

Тоді

8 Н

So~_T2_ 2 " = ₄₈

W — (Г² + т²),

(2,48)

Звідси

або

(2.49)

8Я ( 1 Я)

^& r²-r² Чз б)