9. Прогнозування гравіметричних аномалій

Аномалії сили ваги необхідно знати в будь-якій точці земної поверхні їх використовують для розв’язування задач гравіметри і фізичної геодезії Але фактично прискорення сили ваги, яке одержують із вимірювань, вишачається для обмеженої кількості пунктів Значення величини сили ваги між цими пунктами отримують шляхом інтерполяції Крім цього, невивченими залишаються значні території акваторій морів, океанів (більша частина Тихого океану, на півдні Атлантичного і Індійського океанів) і недостатньо вивчені території Антарктиди, Північного Льодовитого океану і Африки

Очевидно вибір методу прогнозування (передбачення) аномалій сили ваги між пунктами спостереження є дуже вадливим у задачах, які розв’язує гравіметрія і фізична геодезія Значення величин гравіметричних аномалій інтерполюють або екстраполюють Для прогнозування аномалії в пункті Р необхідно мати інформацію про функцію розкладу аномалії на даному просторі і величинами аномалій в сусідніх пу нктах Лінійну інтерполяцію використовують, коли гравіметричне знімання виконано з достатньо великою густотою пунктів В інших випадках використовується інформація про статистичний розклад гравіметричних аноматій, або коваріаційні функції аномалій Метою прогжт вання є знаходження виразу шуканого значення аномалії в пункті Р або

Ag_p через функції спостерелсуваних аномалій Ag_n в п\нкта\ 1, 2, 3 п або з використанням залежності

(8 105)

bgp = Є(Д&Д& А#,,)

Якщо прогнозовану величину Ag _р позначити через Ag, то загальна лінійна ф\ нкція F буде мати вираз

П

А£_р = Ag, + ^ар, ^AS₂ + + ^а,„ ^А8„ = z “ft А?,, (8 ¹⁰⁶)

І=1

Коефіцієнти а_р1 залежать тільки від взаємного положення пунктів 1, 2, 3 п і щніпу Р В залежності від вибор> цих коефіцієнтів можна одержати різні методи прогнозування Розглянемо декілька прикладів прогнозування

Геометрична інтерполяція Аналітичний вираз для геометричної інтерполяції має такий вигляд

_AS _ (ч-^у)0'з~л)-(>^,2-Ж^уз-ч) а- , (ч-^ЗО'з-З'гГО’г-З'їКч-^) '

(8 107)

, (ч - *)0'і - -Уз)- 0: - у)(^х, - ч) л _г , (ч ~х_г){у, -у,У(у-,-у₂)(х, -х,)

і (ч - РІЧ - У,)- (у, - Жч - X,)

(х, - х, )(у₂->>,)-(у, - л )(х₂ - X,)

де

X,, у, -плоскі прямокутні координати пунктів (/ = 1,2,3). для яких відомі величини аномалій сили ваги Ag,,

х, у -плоскі координати m шоу Р. для якого прогнозують (інтерполюють) аномалію

Ag_P

Рівняння (8 107) є рівнянням площини, яка визначена через координати трьох пунктів (л",, у і, Ag,) Тут слід відзначити, що роль аплікати z відіграє величина аномалії

в пункті Ag Загальний вираз для інтерпольованого значення аномалії в цьому випадку буде

Представництво У цьому методі приймають, що визначена величина аномалії в одному пункті може бути представтеною для певного оточення навколо цього пункту

&g_P - Agi > (8Ю9)

якщо ггункт Р знаходиться в околиці пункту 1, тоді коефіцієнти в загальному виразі (8 108) будуть дорівнювати

ОС — 1,

(8 ІІО)

а_Р -а = ~а_Р= 0

^г2 ^ГІ ^гп

Нульові аномалії Якщо на великій поверхні відсутні гравіметричні вимірювання (це передовсім поверхня океанів), то приймають

(8 111)

Л?_Р=0,

а всі коефіцієнти сс_р будуть дорівнювати нулю

Жоден із представлених трьох методів прогнозування не дає максимальної точності Щоб знайти такий метод, необхідно розв’язати загальний вираз (8 106) із іастосуванням критерію мінімуму суми квадратів похибок

Інтерполяція аномалій з найменшою дисперсією методом Г Морша

Інтерпольована аномалія &g_F в будь-якій точці Р представляється як лінійна функція всіх п виміряних аномалій

^ASr = (8 112)

I 1

де

ОС_Р' -невідомі поки що коефіцієнти В точці Р розглянем з також істинне значення аномалії Agq Похибки інтерполяції можна визначити із співвідношення

є_р = &g_P -Ag_P = Y,^ap,^AS, ~ (8 ПЗ)

? 1

для похибки Sq в точці q будемо мати

П

£, =4f,-Ag,=2X^,-4g,

а добуток похибок буде

ґ » ^л

^ЕР^Е„ = L^arM ~4?р 2А- А?.

v«-i Д^>

(8.114)

(8.115)

або:

Єо€„ =

Z2X«„ ^д£,^д£, -Х^ал^д£'^дх<

'=і j=і '=і

(8.116)

^_Z^a?,^A^^A^ ^+А^^дя,

/=1

Добуток виміряних і інтерпольованих аномалій замінимо відповідними середніми величинами - коваріаціями. Тоді одержимо коваріацію похибок інтерполювання:

^ЕР_Ч =<е_гє_ч >=XE«?,^e_?, ^<&gAgj >~Л^ар, <*8,^8, >-

/=1 / 1 і 1

(8.117)

П

-Ц^ач, ^<&Sp^AZ, > + <&gp&g<, >

/=1

В виразі (8.117) фактично фігурує одна і та ж коваріація аномалій, але для різних точок. Тобто:

C,j=<AgiAgj> ■ коваріація виміряних аномалій

Cpq=<AgpAgtp - коваріація інтерпольованих аномалій

Cpi=<AgpAgi> - взаємна коваріація виміряних і інтерпольованих аномалій.

Розглянемо частковий випадок формули (8.117). коли точки Р і q збігаються:

Ш р —< £p£q &рр ~~ У ' У1 &р_і ' CZpj " (-'ц ²У j &рСp_t З" ^рр (8.118)

і=1 у=1 ' , = 1

Ця формула визначає дисперсію інтерполювання. Крім вісазаних вище коваріацій, вона включає коефіцієнти ар,. Щоб їх визначити, ставимо вимогу про мінімізацію дисперсії

т²р^=<: Єр²* -тіп. (8.119)

А це є еквівалентно системі нормальних рівнянь типу

д ті

= 0 (&=1,2,3.../7). (8.120)

Похідна від першого члена формули (8.118) є сумою двох рівних членів

П П

, (8.121)

;=і t~-i

У розгорнутому вигляді одержимо нормальне рівняння

²У>р. ^ік ~2С _рк -- 0, (8.122)

і=і

В цьому рівнянні немає виміряних аномалій. Після заміни індексів к на у, знаходимо систему нормальних рівнянь

П

J]a_PC_}j =C_Pj (/'-1,2,3.. л) (8 123)

і=і

Значення Є,, в цій системі можна розглядати як елементи симетричної матриці С.

визначник якої завжди додатний. Тому матриця має обернену С"¹ і коефіцієнти ар, виражають у явному вигляді:

п

(8.124)

де.

C^J - елементи матриці О , оберненої до коваріаційної матриці С з елементами С_1}, Підставляючи це значення а_р в (8.112) і (8.118) знаходимо:

(8.125)

*Єг = £І.С_Рі-С’/&,.

т

С

г'Р

І ІС_Йфѻ

«=1 /“1

(8.126)

1=1 J=1

Отже, задача інтерполювання аномалій з найменшою дисперсією розв’язана.

Розділ 9

ВИКОРИСТАННЯ ГРАВІМЕТРИЧНИХ ДАНИХ В ГЕОДЕЗІЇ ТА ГЕОФІЗИЦІ

При проектуванні гравіметричних робіт для геодезичних задач основним критерієм є необхідна точність обчислення складових прямовисних ліній, аномалій висот, поправок в результати нівелювання. Гравіметричні складові відхилень прямовисних ліній і аномалії висот обчислюють за результатами гравіметричного знімання, використовуючи гравіметричні карти. Визначення їх на фізичній поверхні Землі має велике науково-практичне значення для вивчення будови і фігури Землі, проектування результатів геодезичних вимірювань на поверхню відносності (еліпсоїд), визначення параметрів орієнтування референц-еліпсоїдів, при будівництві інженерних споруд та розв’язування задач, пов’язаних з запуском ШСЗ і космічних апаратів.

При наявності гравіметричних даних на всю земну поверхню можна за аномаліями сили ваги обчислити гравіметричні складові відхилень прямовисних ліній і аномалії висот, які віднесені до рівневого еліпсоїда, центр якого збігається з центром мас Землі. Проблема визначення гравіметричних складових відхилень прямовисних ліній і висот квазігеоїда на фізичній поверхні Землі за виміряними на ній аномаліями сили ваги була розв’язана М.С.Молоденським. Формули М.С.Молоденського для обчислення цих величин складаються із головного і поправочних членів, що враховують складний характер земної поверхні. Головні члени формул збігаються з відповідними формулами Стокса і Венінга-Мейнеса, які одержали практичне застосування для пунктів рівнинної місцевості. Так, за формулами Венінга - Мейнеса, можна одержати гравіметричні складові відхилень прямовисних ліній в рівнинних районах із середньою квадратичною похибкою (0,3-0,5)", а в гірських - (1-1,4)". За формулою М. С. Молоденського можна отримати апріорну середню квадратичну похибку визначення складових відхилень прямовисних ліній, використовуючи дані рівномірного гравіметричного знімання

=±0.15w^_t (9.1)

де:

m4g -середня квадратична похибка аномалій Фая, в яку входять похибки вимірювань сили ваги, редукцій і помилки інтерполяції між гравіметричними пунктами. Похибки обчислення складових відхилень прямовисних ліній за аномаліями Фал, які осереднені в межах трапецій розміром (SxS)km, буде близькою до

m'_i=±0.\5"E_s (9.2)

де:

Ег- повна похибка представництва аномалій Фая для трапеції розміром (SxS)km. У рівнинних районах при S " 3 0 км

т = ±0.03 "S км

1. Проектування іравімегримкого знімання

Одним із найбільш складних і важливих питань методики виконання гравіметричних робіт є проектування гравіметричного знімання Завдання проекту вання полягає в тому, щоб встановити область гравіметричного знімання, точність вимірювань і густоту пунктів У залежності від призначення гравіметричного знімання існують різні методи проектування При проектуванні гравіметричного знімання для геодезичних задач основним критерієм є точність обчислення аномалій висот, складових гравіметричних відхилень прямовисних ліній, редукцій при обробці астрономо- геодезичних мереж, поправок в результати нівелювання, а також необхідність врахування неоднорідностей гравітаційного поля в задачах інженерної геодезії Для розв'язання геофізичних задач дуже важливим є при проектуванні гравіметричного знімання врахувати геологічну будову і особтивості гравітаційного поля

ті =

р

2л у

£

т

In—(sin А_к

К

sm А,,

(9Ц

При вивченні локальних особливостей гравітаційного поля, крім загального державного гравіметричного знімання, необхідно мати з більшою густотою знімання Складові відхилень прямовисних ліній більш чутливі до таких локальних особливостей гравітаційного поля, ніж аномалії висот Це перш за все стосується впливу аномалій сили ваги центральної зони Через те при плануванні гравіметричного знімання виходять із вимог щодо точності обчистень складових відхилень прямовисних ліній Для розрахунку густоти гравіметричного знімання використовують формулу похибки відхилень прямовисних ЛІНІЙ

т

kg

С

(9 4)

і емпіричну формулу дія похибки аномалій сили ваги

де

ґ, - раді\ си зон.

Ak - азимут сферичного сектора

X і у- розміри ділянки, на якій знаходиться хоча б один гравіметричний пункт

Відомо, що вплив аномалій сили ваги на складові відхилення прямовисних ліній зменшується із збільшенням віддалі Т Суттєвий вплив на точність обчислення відхилень прямовисних ліній має величина радіуса центральної зони навколо досліджуваного ПУНКТ} Тому ДЛЯ Підвищення ТОЧНОСТІ визначення Відхилень Прямовисних ТІ1Н1Й необхідно виконати гравімегричне знімання згущення навколо пункту, для якого виконують обчислення Приймаючи що загальне рівномірне гр₍івіметричне знімання виконано з густотою 1 пхнкт на 1000 км, В В Бровар розрахував два варіанти можливого розподілу гравіметричних пунктів для рівнинних районів

Таблиця 13

№ зони	Зовнішні радіуси, км	Кількість	пунктів	Похибка виміряних аномалій, мГал
		1 варіант	2 варіант
0	2	1	1	-
1	8	б	5	+0 9
2	21	7	7	1 3
3	48	8	9	1 9

т_н

S У т

(9 5)

Ці два варіанти забезпечують визначення відхилень прямовисних тіній з точністю + 0,5 ^й Для підвищення точності обчислення гравіметричних відхилень прямовисних ліній до 0,15" Л П Пеллінен зробив розрахунки, згідно з якими додаткове гравіметричне знімання згущення необхідно виконати з густотою 1 пункт на (100-200) ш Густота гравіметричного знімання впливає також на виконання геометричного нівелювання для редукцій горизонтальних напрямів і лінійних вимірів Похибка обчислення нормальної висоти, обумовлена похибками інтерполяції аномалій сили ваги обчислюється за формулою

де

Е' - чиста похибка інтерполяції,

tgрт - середній нахил ділянок нівелювання

L - довжина лиш нівелювання,

S - середня віддаль між реперами

За дослідженнями ЛППеллінена в рівнинних районах молена обмежитись гравіметричним зніманням нормальної густоти, щоб забезпечити необхідну точність обчислення нормальних висот

У середньовисотних районах силу ваги необідно вимірювати на всіх реперах 1 класу і на багатьох реперах 2 класу, а в високогірських районах на реперах всіх трьох класів нівелювання При обробці астрономо-геодезичних мереж в високогірських районах враховують поправки в кутові і лінійні виміри Гзстоту гравіметричного знімання яка необхідна для редукції горизонтальних напрямів розраховують за формулою

(9 6)

гПа=0 I9tgр_тк yfs

де

tgpm - середній нахил сторін тріангуляції, S - довжина сторони в км

Виходячи з цієї формули, можна стверджувати, що лише в високогірських районах необхідно виконати додаткові вимірювання сили ваги при гравіметричному зніманні нормальної густоти При редукції лінійних вимірювань в горах необхідно мати таку густоту гравіметричного знімання, щоб можна було інтерполювати відхилення прямовисних ліній мок астропунктами з точністю +2" Це забезпечується виконанням

додаткового гравіметричного знімання навколо базисів Якщо кути нахилу /? ^5° то тоді збільшується обсяг грівіметричних робіт щоб ДОСЯГТИ ВІДПОВІДНОЇ точності інтерпольованих відхилень прямовисних ліній Для цього при проектуванні триангуляцп в гірському районі намагаються зменшити кути нахилів базисів щоб відповідно зменшити об’єм гравіметричних робіт

2. Обчислення складових гравіметричних відхилень прямовисних ліній

Розглянемо формули Венінга-Мейнеса для обчислення складових гравіметричних відхилень прямовисних ліній в нульовому наближенні А це означає, що фізична поверхня Землі збігається з рівнем моря і є рівневою, яку Стокс прийняв за поверхню кулі радіуса R

Формули Венінга-Мейнеса в загальному вигляді можна записати

(9 7)

Підінтегральна функція О (v|/i називається функцією Венінга-Мейнеса яка визначається із співвідношення

2

(9 8)

В формулах (9 7) і (9 8) прийнято, що Ag -аномалія сили ваги О (vj/) -фу нкція Венінга-Мейнеса,

а -азимут напряму

у/ -сферична віддаль між біжучим із заданою аномалією Ag і досліджуваним пунктом, для якого обчислюють складові гравіметричних відхилень прямовисних ЛІНІЙ

Практично обчислення складових ц і ?] гравіметричних відхилень прямовисних ліній зводиться до розбиття області інтегрування на зони з використанням чисельних методів, тобто інтегральний вираз іамінюють сумами по елементарних ділянках

Функція Венінга-Мейнеса неперервна для всієї області 0°< у/<180°, крім точки у/-0°. Значення цієї функції приведено в таблиці 14.

Значення функції Венінга-Мейнеса

Таблиця 14

	СКчО		Q(4')
0	00	90	-0.29
1	+ 12.35	100	-0.38
10	+ 1.59	110	-0.41
20	+ 1.02	120	-0.40
зо	+ 0.79	130	-0.34
40	+ 061	140	-0.24
50	+ 0.43	150	-0.16
60	+ 0.22	160	-0.08
70	+ 0.03	170	-0.02
о оо	- 0.15	180	0.00

49^0

12

+

(9.9)

Для сферичної віддалі \)/<10 функцію Венінга-Мейнеса 0(у/) можна наближено представити:

а

0,315 +

12.048

гро

+ 0.0075Т“

(9.10)

Якщо в останньому виразі підставити значення р"=206265; у=981000 мГал, то одержимо

або

Qi (r)-B/r+Cr -D,

В---1340,

С=0,000066, D=0,3J5,

де:

(9-11)

r = R-'i' = R'¥⁰^- 360

Виділяють наступні зони для обчислення £ і 7] за формулою (9.7) методом чисельного інтегрування:

центральна зона

0 < г < 5км.

Q(vj/)=B/r

близькі зони

5км < г < 1000км.,

Qi(r)

далекі зони

QM

Остаточні значення складових гравіметричних відхилень прямовисних ліній одержують як суму впливу окремих зон. Робочі формули для обчислення впливу поля аномалій сили ваги центральної зони на складові відхилення прямовисних ліній будуть:

(9.12)

(9.13) де.

Ag, - значення аномалії сили ваги в точці на колі радіуса г=5км, азимут якої а,.

- 0.003

(9.14)

Ці формули (9.12), (9.13) враховують вплив центральної зони на відповідні складові прямовисних ліній, коли поле аномалій сили ваги навколо досліджуваного пункту є спокійним, тобто аномалії Ag за напрямами, які проходять через досліджувану точку, змінюються лінійно. У випадку, коли поле аномалій сили вага центральної зони є складним (аномальне, гірські райони), використовують робочі формули В. Ф. Єремеєва

в яких:

c

/₁(0=X^A£*(''.)^cosat’

fc=i

(9.15)

8

/:W=E^(0*ⁱⁿ«i.

k=1

і відповідні радіуси палетки В. Ф. Єремеєва rj = 1,05км, Гз =2,88км і Гз =4,52км.

і

2 тгК

1000 2я

J \&gQ,{r

5 О

cos a sin а

dr da,

(9.16)

Вплив поля аномалій сили ваги в близьких зонах від 5 км до 1000 км навколо досліджуваного пункту на гравіметричні складові прямовисних ліній виражається формулою:

0005'2

ї-1 к~ 1

16 8

cos a_s sin а_і

24 13

0002"2S^,_t

;=1 к=9

cos а_г sin a_t

яку приводять до робочої формули:

24 21

-0.0015*2 £

i=1 Jk=14

cos a, sin a,

(9.17)

Тут у формулі:

Agile - значення аномалії сили ваги в 7-ому секторі і /г-ій зоні,

Поле аномалій сили ваги далеких зон (у/>10°) мають малий вплив на гравіметричні складові відхилення прямовисних ліній в силу того, що функція Венінга- Мейнеса є малою величиною, і цей вплив є плавним від пункту до пункту. Тому для врахування впливу далеких зон можна використати модель гравітаційного поля Землі, одержану супутниковями методами. Складові відхилення прямовисних ліній можна виразити через коефіцієнти розкладу геопотенціалу

£(<?, A) = ьі cos/?7 Я + S _т, Sin тА)Р;_ш (sin <р\

п= 2 т=0

(9.18)

ті((р,Л) = -±±(? cos ml + S,vr sin тл\Р’_ип (sin <р\

>т=2 т=0

(9.19)

>Н

С -С

^ пт Є

У цих формулах:

(р, Я - географічні координати пункту,

C,_m,Snm - нормовані гармонічні коефіцієнти розкладу в ряд за сферичними функціями геопотенціалу степені 11 і порядку пі,

— £

Спт - нормований гармонічний коефіцієнт, який відповідає нормальному

еліпсоїд)', відносно якого одержують відхилення прямовисних ліній.

9.3.Обчислення аномалій висот (висот квазігеоїда).

AnyR

flAg-sC^rfor,

(9.20)

Вперше задачу визначення висот геоїда над еліпсоїдом відносності розв’язав англійський вчений Стокс у 1849р. Він одержав інтегральну формулу, яка встановлює зв’язок між висотами геоїда над еліпсоїдом з аномаліями сили ваги. Цю залежність записують у вигляді:

єр єр / vpr

= cosec—-6sin —+ 1 -5COS4¹-ЗсобЧЦп! sin — + sin²— j (9.21)

(9.22)

da = R² sin у/ d у/ dA

У цих формулах:

Ag - аномалія сили ваги.

S(у/) - функція Стокса, яка залежить тільки від сферичної віддалі у/ - сферична віддаль між досліджуваним і біжучим пунктами, da - елемент поверхні сфери,

R - середній радіус Землі,

У - середнє нормальне значення прискорення сили ваги.

Ця формула (9.20) дозволяє обчислити висоту геоїда над еліпсоїдом в будь-якій точці, коли аномалії сили ваги задані на всій поверхні Землі. Якщо ввести в формулу'

18. функцію Гельмерта

(9.23)

F(4') = is(T)sin4^<,

R 2 тгу

п 1п

І \&gF('¥)en'dA

0 0

(9.24)

то тоді:

Для практичного обчислення £ інтеграл (9.24) ділять на суму інтегралів, Інтегрування виконують чисельним методом, ділячи поверхню Землі на зони. Кожну зону додатково ділять на сектори і одержують сферичну⁷ трапецію, обмежену' двома сусідніми зонами і секторами, для якої приймають середнє значення аномалії сили ваги. Тоді формулу Стокса записують у вигляді:

п п т *^і+і 4/+¹

і = ] J4^(49 <** dA, (9.25)

iTVf _г=о J=о ш .

де:

І - номер зони, j - номер сектора.

Враховуючи, що:

2к

JdA = 2я\ (9.26)

о

%. %₊. %

J F(y) d¥ = JТ(У) с№ - JТ(у) с№ = Ф„, - Ф„ (9.27)

Л О 0

формулу Стокса записують в іншому вигляді:

#=-ЕД?,(Ф„,-Ф,) (5 28)

ї

Для функцій F (у/) і Ф (у/) складені детальні таблиці, які молена використати при обчисленнях.

Далі сумують добутки Ag, (Ф_г-і-Ф,) для всієї Землі і отримують £. Але безпосередньо визначати аномалію висоти для будь-якої точки земної ку лі є практично немоясливо через те, що Земля не повністю вивчена в гравіметричному відношенні. Крім цього, вплив аномалій сили ваги далеких зон від досліджуваної точки не зменшується. Це означає, що з однаковою точністю повинні бути відомими аномалії сили ваги близьких і далеких зон при використанні формули Стокса. Цією методикою можна

визначити аномалії висоти з середньоквадратичною похибкою пц< їм. Зараз найбільш зручним шляхом одержують висоти геоїда через розклад аномалій за сферичними функціями рядом Стокса.

Знаючи коефіцієнти розкладу аномалій за сферичними функціями, можна дуже легко обчислити ^ для будь-якої точки з координатами (р і Я. Але є певні труднощі у розв’язанні цієї задачі, які пов’язані з тим, що коефіцієнти розкладу А_пт І В_пт повинні бути одержані, коли аномалії сили ваги задані для всієї поверхні сфери. Розвиток світового гравіметричного знімання відкриває можливості підвищення точності визначення висот геоїда шляхом використання інтегральної формули Стокса в деякій близькій зоні навколо досліджуваного пункту і гармонічних коефіцієнтів геопотенціалу для врахування впливу далеких зон. Подальше підвищення точності визначення висот

геоїда £ буде можливим, коли буде використана оптимальна комбінація детального гравіметричного знімання і аналізу орбітальних збурень ШСЗ.

З початку 70-х років нашого століття з’явився новий геометричний метод (метод супутникової альтиметрії) визначення висот геоїда на океанах. Цей метод дає можливість побудувати більш точний геоїд над акваторіями, ніж це дозволяють виконати наземні засоби, а також визначити коефіцієнти розкладу геопотенціалу до сотого і більше порядку. Методом супутникової альтиметрії, який грунтується на безпосередньому вимірюванні висот супутника над океаном з допомогою радіоальтиметра, можна швидко і надійно визначити висоти геоїда з необхідною точністю. Але результати досліджень показали, що цей метод дає задовільні результати лише при визначенні низьких гармонік. Детальне вивчення гравітаційного поля молена здійснити тільки з допомогою вимірювань на поверхні Землі.