лекція 7 (1)

Розділ 8
8.6 Топографо-геодезичні роботи при виконанні
гравіметричного знімання.

Як відомо кінцевим результатом гравіметричного знімання є одержання гравіметричної карти, на якій показуються аномалії сили ваги. Для визначення положення пунктів гравіметричного знімання в певній системі координат, нанесення їхна карти, врахування впливу рельєфу місцевості і виключення нормального поля, проводять топографо-геодезичні роботи. При гравіметричному зніманні геодезичні роботи включають такі операції:

1. Планування мережі опорних і рядових спостережень.

2. Визначення координат і висот пунктів спостереження.

3. Нівелювання місцевості навколо гравіметричного пункту з метою введенняпоправки за рельєф у силу ваги. 

4. Закріплення пунктів спостереження на місцевості.

Розглянемо вимоги щодо точності визначення координат.Запишемо вираз дляаномалії сили ваги Буге.

(8.60)

Диференціюючи цей вираз за змінними ВіН, одержимо формулу длясередньоквадратичної похибки аномалії сили ваги

(8.61)

Швидкість зміни нормального значення сили ваги із зміною широти 
замінимо через 
.

(8.62)

Для середніх широт 36°<В<40° приймаємо, що

Для густини проміжного шару 
 одержимо, що

(8.63)

З цієї формули можна встановити вимого щодо точності визначення координатдля обчислення з відповідною точністю аномалій сили ваги. При встановленні точностівизначення планового положення гравіметричних пунктів необхідно враховуватиточність поправки за нормальне гравітаційне поле і нанесення пункту на гравіметричнукарту. При допустимій похибці аномалії сили ваги
, похибка плановихкоординат буде 
. Гравіметричний пункт на карті зображується коломдіаметром біля 1 мм, центр якого наносять з точністю (0,2-0,4) мм. Отже, граничнапохибка визначення планових координат може скласти 1,2 мм в масштабі відлікової гравіметричної карти. Це відповідає на місцевості 120 метрам для масштабу карти 1:100000, або60 метрам для масштабу 1:50000. Точність планових координат можнавстановити, якщо виходити із точності горизонтальних ґрадієнтів сили ваги 
 і 
.Так, середній горизонтальний градієнт
 на віддалі вздовж меридіана 
завиміряними значеннями сили ваги 
 і 

(8.64)

Диференціюючи цю формулу, перейдемо до похибок і одержимо:

(8.65)

Якщо не враховувати похибку виміряної різниці 
), то:

(8.66)

Враховуючи те, що 
, одержимо похибку планових координат

(8.67)

Якщо
, то тоді



Очевидно, ці вимоги щодо точності планових координат можна легко виконати.
Більші вимоги ставляться до точності визначення висот пунктів спостереження.
Так, поправка за висоту і притягання проміжного шару мас при обчислені аномалій будеприблизно дорівнювати
. Для гравіметричного знімання з похибкою

висоту необхідно визначити з точністю до 0,05 м. В залежності відточності одержання аномалій Буге і масштабу гравіметричної карти встановлюють
допуски для визначення координат і висот, які наведені в таблиці 7.
Таблиця 7.

Масштаб карти

Переріз ізоаномалій, мГал

Середня квадратична похибка

аномалій Буге, мГал

координат, м

висот, м

1:1000000
1:500000
1:200000
1:100000
1:50000
1:25000
1:10000

1:­5000

8,00
5,00
2,00
1,00
0,50
0,25
0,20
0,10
0,10
0,05

1,50
1,50
0,80
0,40
0,20
0,10
0,08
0,04
0,04
0,02

200
200
100
80
80
20
4
4
2
2

5,00
5,00
2,50
1,20
0,70
0,35
0,20
0,10
0,10
0,05

Обсяг, методика топографо-ґеодезичних робіт визначаються вимогами щодо
точності планових координат і висот гравіметричних пунктів, залежить від фізико-географічних умов району робіт і від картографо-геодезичного забезпечення. Длявизначення планових координат використовують топографічні карти, фотоплани, теодолітні, мензульні ходи або радіогеодезичні методи. Для визначення висотзастосовують геометричне .і геодезичне нівелювання, барометричне нівелювання, гідростатичне нівелювання, стереофотограмметричні методи і топографічні карти.Геодезичні роботи для обчислення поправок за рельєф виконуються у відповідності доспособів чисельного інтегруванняїх врахування. Всі пункти закріплюються намісцевості. Пункти опорної гравіметричної мережі закріпляють спеціальними знаками, апункти рядової мережі дерев'яними кілками. Пункти опорної мережі зберігають напротязі 5-10 років, а рядової-на протязі польового сезону. Геодезичні роботи повинні вчасі випереджувати або виконуватись одночасно з гравіметричними спостереженнями.При проектуванні геодезичних робіт вибирають оптимальний варіант з мінімальнимизатратами сил і засобів. У більшості випадків вартість геодезичних робіт значноперебільшує (інколи в 2-4 рази) вартість гравіметричних робіт.

8.7. Методика складання і точність побудови гравіметричних карт.
Для того, щоб скласти гравіметричну карту, необхідно виконати такі основні етапи:

1. вибір масштабу і перерізу карти;

2. приведення гравіметричних даних в єдину систему і до єдиного гравіметричногорівня;

3. вибір густини проміжного шару;

4. інтерполювання і побудова гравіметричної карти.

Вихідною інформацією для складання карти є каталог гравіметричних пунктів.
Вибір масштабу і перерізу карти визначається густотою знімання, похибками аномалій і
складністю гравітаційного поля. Для геодезичних задач гравіметричні карти складають у масштабах: 1:1000000, 1:500000, 1:200000, 1:100000. Навколо пунктів Лапласа,пунктів супутникової основи і навколо пунктів астрономо-гравіметричного нівелюваннягравіметричні карти складають в масштабах: 1:50000, 1:25000, 1:10000. Масштабкарти вибирають в залежності від стати пунктів гравіметричного знімання з такимрозрахунком, щоб на поверхні 
 такої карти був хоч би 1 гравіметричний пункт. Багаторічний досвід виконання гравіметричних робіт встановив раціональні співвідношення між масштабом і іншими характеристиками знімання, які зведені втаблицю 8. 
Характеристики знімання і їх залежність від масштабу карти.
Таблиця 8.

Масштаб гравіме-тричної карти

Середня квадратична похибка визначення

Переріз ізоано-малій, мГал

Похибка інтер-поляції, мГал

Густота мережі

аномалій, мГал

сили ваги, мГал

висот,м

координат, м

Кількість пунктів на 1 

Віддаль між пунктами, м

Для рівнинних районів

1:500000
1:200000
1:100000
1:50000
1:25000
1:10000
1:­5000

1,50
0,80
0,40
0,20
0,10
0,08
0,04

0,50
0,40
0,30
0,15
0,06
0,06
0,03

5,00
2,50
1,20
0,70
0,35
0,20
0,10

200
100
80
80
20
4
2

5,00
2,00
1,00
0,50
0,25
0,20
0,10

2,00
1,00
0,50
0,35
0,20
0,15
0,07

0,04-0,10
0,10-0,25
0,25-1,00
2-30
12-60
20-100
50-250

2500-5000
1000-2000
500-1000
100-500
50-250
20-100
10-50

Для гірських районів

1:500000
1:200000
1:100000
1:50000
1:25000
1:10000
1:­5000

2,00
1,00
0,50
0,50
0,25
0,10
0,05

0,50
0,40
0,25
0,25
0,12
0,06
0,03

3,00
3,00
1,80
1,80
0,90
0,25
0,12

120
100
100
50
25
5
2

5,00
2,00
1,00
1,00
0,50
0,20
0,10

3,00
1,50
0,70
0,70
0,35
0,15
0,07

0,04-0,10
0,10-0,25
0,25-1,00
1-10
4-50
30-100
50-250

2500-5000
1000-2000
500-1000
100-500
50-250
20-100
10-50

При складанні гравіметричних карт для великих територій важливим є приведення всіх гравіметричних знімань в єдину систему. Це забезпечується прив’язкою до Державної опорної мережі. В гравіметричній розвідці при інтерпретації аномальногополя приймають. що аномалії сили ваги є відомими для горизонтальної площини. Щоб привести аномалії до одного рівня (середня висота ділянки знімання), необхідно знатианомалію вертикального ґрадієнта. Але безпосередньо вертикальний градієнт не вимірюють, і цей метод практично не використовують. Для цього використовують аномалії Буге, які залежать від густини проміжного шару, яку визначають загравіметричними спостереженнями. Такі спостереження виконують на різних висотахпри наземних вимірюваннях, або за спостереженнями в шахтах і свердловинах. Тодігустину визначають за формулою:

(8.68)

де:

 і 
 - прискорення сили ваги в точках 1 і 2,

 і 
-висоти точок 1 і 2.
Якщо точки 1 і 2 лежать на поверхні Землі, то в виміряні значення прискорення
сили ваги необхідно ввести поправку за рельєф.
Густина проміжного шару змінюється в значних межах (2,28-2,78г/
)залежно від геологічної будови. Найчастіше при складанні карт аномалій Буге використовують середнє значення густини земної кори 
і 
,яка відповідає значній частині проміжного шару території України.
Гравіметричні карти будують за трапеціями міжнародної розграфки. На картунаносять найважливішу топографічну ситуацію, внутрішню рамку топографічної картицього самого масштабу, гравіметричні пункти з підписаними аномаліями сили ваги.Гравіметричні пункти наносять за їх координатами (В і L, або x і у) з похибкою нtбільшою ніж 0,2 мм у масштабі карти. Пункти з однаковим значенням 
(с-переріз ізолінії, і - ціле число) з'єднують плавними лініями - ізоаномаліями.Ізоаномалії оцифровують, а кожну п’яту потовщують. Гравіметричну картурозфарбовують у декілька кольорів. Так, ізоаномалії додатних аномалій розфарбовуютьу теплі кольори – жовтий, червоний, коричневий, а від’ємних – в холодні: - зелений,синій, фіолетовий. Хід ізоліній повинен бути узгодженим на стику сусідніх планшетівкарт. Якщо складають карти середніх значень аномалій, то необхідно встановити сталірозмірів поверхні 
 для масштабу, в якому представлена дана аномалія. Длягравіметричних карт масштабу 1:200000 і 1:1000000 розміри поверхні відповіднобудуть: 1'15" × 1'52,5"; 5' × 7,5'. Якщо земна поверхня ділиться меридіанами і
паралелями, то для такого розміру поверхні приводяться середні значення аномалій.Кожна гравіметрична карта повинна мати позначення, в яких аномаліях вона складена:(у вільному повітрі, Буге) або в середніх аномаліях поверхні.
За рамками карти вказують густину земної кори, формулу нормального значення
прискорення сили ваги, масштаб карти, рік видання.
Середню квадратичну похибку аномалії сили ваги можна представити виразом:

(8.69)

де

(8.70)

Середня квадратична похибка прискорення сили ваги 
 залежить від похибок
основи (
) 1 середньої квадратичної похибки гравіметричного знімання (
).
Похибка нормального значення сили ваги 
 є функцією похибок координат пункту спостереження. Величина А означає коефіцієнтгравіметричної редукції, а 
 -похибка визначення висоти гравіметричного пункту. Середня квадратична похибка виміряної аномаліїзбільшується за вплив густини земної кори. Це стосується тиханомалій сили ваги (Буге, топографічних, ізостатичних) для обчислення яких необхіднознати густину земної кори. Точність гравіметричної карти характеризується різницею між виміряним значенням аномалії 
 і його інтерпольованим значенням 
 для тих самих пунктів «Повну» похибку інтерполяції обчислюють за формулою

(8.71)

де
n –кількість пунктів, в яких визначені ці різниці.
Для визначення похибки інтерполяції служать контрольні вимірювання в пунктах, які не використовувались при складаннігравіметричних карт. До «повної» похибки інтерполяції входять похибки аномалій сили ваги і припущення лінійної зміни аномалій між пунктами, в яких виконанівимірювання сили ваги. Цю величину називають«чистою» похибкою інтерполяції, яку обчислюють за формулою

(8.72)

Величина «чистої» похибки інтерполяції при використанні карт аномалій силиваги залежить від віддаліміж пунктами.
Експериментально похибку інтерполяції визначать за допомогою такогоприйомуштучно розріджують в 2, 4, 8, 16 разів гравіметричне знімання і зановоскладають нову карту з використанням аномалій сили ваги залишених пунктів. Далі за відхиленням

 обчислюють 
і 
 як функції середньої віддалі r між пунктами. Результати обчислень наносять на графік (рис. 40), де на осі ординатвідкладають похибку інтерполяції, а на осі абсцис - віддаль між гравіметричними пунктами.



Рис. 40
В табл. 9 подані величини «повної» похибки інтерполяції аномалій сили ваги ввільному повітрі за результатами досліджень Говорової.
Таблиця 9

Віддаль між пунктами, км

Е, мГал

3
5
7
10
15

6
9
12
16
21

Залежність 
 від віддалі  r визначається за емпіричною формулою:

,
де:
k і s - коефіцієнти емпіричної формули.
Для віддалі до 3-5 км цю залежність можна представити

,
де:
k і s - коефіцієнт, який залежить від складності гравітаційного поля.
Для рівнинних районів цей коефіцієнт 
, а для гірських районів
він може бути в 2-3 рази більшим. Похибка виміряної аномалії сили ваги 
 при
виконанні гравіметричних робіт встановлюється в 2-3 рази меншою ніж значення
«чистої» похибки інтерполяції
, а переріз ізоліній вибирають в 2-3 рази більшим, ніж 

При дослідженнях фігури Землі за гравіметричними даними істотну роль
відіграють похибки представництва аномалій сили ваги гравіметричної карти. Якщо
поле аномалій досліджуваної області розбити на трапеції з сторонами рівними середній
віддалі між гравіметричними пунктами і є хоча 6 1 пункт з відомою аномалією, тоді
«повна» похибка представництва визначатиметься за формулою:

(8.73)

де:

- спостережуване значення аномалії сили ваги,

- середнє значення аномалій трапеції,
n - кількість г гравіметричних пунктів, розміщених у межах трапеції.
Зручніше застосувати дещо інший вираз, в якому відпадає потреба одержувати
середнє значення аномалії для кожної окремої трапеції.

(8.74)

«Чисту» похибку представництва аномалій одержують шляхом вилучення із «повної» похибки представництва похибки вимірювання

(8.75)

При проектуванні гравіметричного знімання в різних районах необхідно знатипохибку представництва як функцію розмірів даної ділянки (трапеції). Для визначення
Величини «повної» похибки представництва застосовують такі дії: територіюгравіметричного знімання з густотою 1 пункт на 1
 ділять на певну кількість рівнихчастин. За розмір приймають трапецію, для якої в середньому є 4 гравіметричнихпункти. Після цього обчислюють похибку представництва. Далі гравіметричне зніманняштучно розріджують і знаходять середнє значення аномалій для трапецій більшихрозмірів, за якими обчислюють відповідну похибку представництва. Очевидно, що «повна» похибкапредставництва є функцією розмірів трапеції і залежить від складностігравітаційного поля. «Повна» і «чиста»  похибки представництва аномалій у вільномуповітрі для рівнинних районів при середній віддані між пунктами 32 км наведені втаблиці 10.

Таблиця 10 

Густота знімання

1/4

1/8

1/12

1/16

1/24

1/32

1/48

103

127

136

139

149

155

163

95

120

129

139

148

149

157

Емпіричним шляхом одержав Граф Хантер функціональну залежність

(8.76)

де:

  - розміри даної трапеції виражені в км,


«Чисту» похибку представництва для рівнинних районів, копи сторони криволінійної трапеції складають (20-30) км, можна визначити за емпіричноюформулою

(8.77)

Якщо r <20 км, то «чисту» похибку представництва 
 одержують із залежності

(8.78)

де:

  - сторони прямокутника.
У гірському районі «чиста» похибка представництва аномалії в вільному повітрі є
в декілька разів більшою від
 для аномалій Буге. При віддаляхr < 30 км похибка
представництва приблизно дорівнює похибці інтерполяції. Для рівнинних районів
емпіричне значення «чистої» похибки представництва для детального гравіметричного знімання (1 пункт на 3-4 
приведені в таблиці 11.
Таблиця 11

Розмір ділянки, км

, мГал

Розмір ділянки, км

, мГал

5×5

1,5±0,1

20×20

4,4±0,4

10×10

2,8±0,2

30×30

7,0±0,6

8.8. Коваріаційна функція аномалій сили ваги

Поле аномалій сили ваги приймають як процес стохастичний, а їх величини яквипадкові. Ці аномалії 
 є функцією координат на земній поверхні. Цей стохастичний процес характеризується коваріаційною функцією, яка ілюструє взаємну кореляцію між
елементами даних. Коваріаційною функцію (коваріацією) поля аномалій сили вагиназивається середнє із добутків центрованих аномалій. які знаходяться на віддалі 
між
собою.

(8.79)

(8.80)

де:

(8.81)

(8.82)

В цих формулах:

 - середнє значення аномалій сили ваги,

- центрована аномалія.
Середнє із квадратів центрованих аномалій називають дисперсією аномалій

(8.83)

Коваріація буквально означає сумісну зміну. Коваріації можуть бути не тількианомалій сили ваги, але й інших дериват гравітаційного поля (аномального потенціалу,складових відхилень прямовисних ліній, висот квазігеоїда та інше). Отже, коваріаціяхарактеризує статистичну кореляцію аномалій. Якщо коваріація дорівнює нулю, тоаномалії не корелюють між собою, тобто єнезалежними. Чим більша віддаль 
міжточками, в яких задані аномалії сили ваги, тим слабкіша кореляція. При наближенні точок кореляція збільшується і при 
коваріація перетворюється в варіацію або середньоквадратичну величину. 
Характер зміни коваріації 
від віддалі 
 між пунктами представлений на рис. 41.


Рис. 41. Коваріація дорівнює дисперсії
При 

(8.84)

При невеликих віддалях 
 добуток аномалій завжди є додатним і близьким до

, а середня величина добутку менша від дисперсії. Із збільшенням 
аномалії більше відрізняються між собою, а їх добуток може бути від’ємними, а середнєзначення ще більше зменшується. На віддалі 
 коваріація перетворюється в нуль,тобто аномалії стають некорельованими. Але фактично границя кореляції набагатоменша від 
, умовно за її міру приймають віддаль R, при якій коваріація в 
разівменша від дисперсії.

(8.85)

Цю віддаль називають радіусом кореляції 
. Крім того, використовують і іншу
більш зручну для розрахунків величину
, яку називають інтервалом кореляції:

(8.86)

Для коваріаційної функції істотним параметром є характеристичний радіус 
,який показує силу кореляції поля аномалій сили ваги. За даними Джордана між 
існує залежність:

(8.87)