3. Другі похідні потенціалу прискорення сили ваги

aw

дх

~§Х ,

(1.16)

aw

ду

(I IV)

0-18)

рівні проекціям gx, g_y, g_z вектора g на координатні осі. Другі похідні

a^:w_araw^| ag

dz² dzy dz ) dz

a²w ^ a f aw^ ag

ax dz dxydz) dx

a²w _ а ґдчгЛ ag

dy dz dy{dz ) dy

(119)

(1.20)

Гравітаційне поле Землі може бути представлене не тільки полем потенціалу прискорення сили ваги W або полем прискорення сили ваги g, але і іншими потенціальними функціями. Такими функціями можуть бути різні похідні від потенціалу прискорення сиди ваги, між якими можна встановити певні аналітичні зв’язки. Розглянемо більш детально другі похідні потенціалу прискорення сили ваги. Перші похідні

характеризують зміну прискорення сили ваги відповідно у вертикальній і горизонтальній площинах. Величина д g! д z одержала назву вертикального градієнта

...

прискорення сили ваги, а другі похідні від потенціалу прискорення сили ваги ——

ас ду

відповідно-горизонтальні ірадієнти прискорення сили ваги. Похідні

3²W 3²W д W

— і характеризують кривину нормального перерізу рівневоі

д х² д у² де ду

J ]_

Л, я₂

' CrW ду²

5²W'

дх² j

cos2% -2

дхду

sin 24^

(1 22)

поверхні. Різниця кривин головних нормальних перерізів визначає неспівпадання рівневоі поверхні зі сферою.

В цій формулі:

1/R] - максимальна кривина,

1/R₂ - мінімальна кривина нормального перерізу рівневоі поверхні, іро - напрям нормального перерізу з максимальною кривиною 1/Rj Для визначення щ використовуємо співвідношення

(1.24)

(J 23)

tg2^₀=

де:

₌ d²W _{w =} d²W d²W дх<у' ^Л у² _г>²

Похідні W_л і W _ху називаються градієнтами кривини рівневоі поверхні

4. Методи вимірювання прискорення сили ваги і других похідних потенціалу сили ваги

Дуже багато фізичних явищ можна використати для вимірювання прискорення сили ваги. До них належить: вільне падіння тіла, коливання маятника, прецесія гіроскопа, коливання струни, деформація тіла під дією змінної сили (маси), підняття рідини в капілярі тощо. Спостерігаючи фізичні явища в різних пунктах земної поверхні, обумовлені дією прискорення сили ваги, можна визначити її величину в даному пункті Методи вимірювання прискорення сили ваги ділять на динамічні і статичні. Динамічні методи грунтуються на дослідженні руху тіл в полі прискорення сили ваги До динамічних методів належать:

- метод маятниковий, який використовує залежність періоду’ коливання маятника (Т) від зведеної його довжини (І) і прискорення сили ваги (g); для математичного маятника з нескінченно малою амплітудою коливання ця залежність виражається

Т = п

(1.26)

метод балістичний, або метод вільного падіння тіла, в якому використовують залежність шляху ((^;) від часу (t) і прискорення сили ваги (g) при прямолінійному рівноприскореному русі вільно падаючого тіла.

(1.27)

l-lo + V +

де:

/ о - шлях у початковий момент часу, v₀ - швидкість у початковий момент часу.

І

2L

ш -g

(1.28)

- метод спостереження власних поперечних коливань струни, натягнутої тягарцем. Частота (f) коливань гнучкої струни залежить від її довжини (L), лінійної густини (р) матеріалу, з якого виготовлена вона, а також від її маси (М) і, очевидно, від прискорення сили ваги (g)

Статичні методи полягають на точному врівноваженні сили ваги Mg еталонною силою F

Mg+F=~0 (1.29)

При цьому тут використовується механічна властивість (деформація) системи пружин і ниток. В цих методах безпосередньо вимірювальною величиною є лінійна або кутова зміна положення рівноваги маси. Вимірювання прискорення сили ваги бувають двох видів:

• абсолютні вимірювання.

• відносні вимірювання.

В результаті абсолютних вимірювань ми одержуємо повне значення прискорення сили ваги в пункті спостереження. Для виконання абсолютних вимірювань використовують тільки динамічні методи (маятниковий або балістичний). Відносні вимірювання полягають у визначенні різниці (приросту) прискорення сили ваги (A g) між пунктами спостереження. Якщо відома величина прискорення сили ваги в деякому

вихідному пункті (gi) і виміряна різниця (A g), тоді можна одержати прискорення сили ваги в іншому пункті (§2):

g2=g/^Ag

Відносні вимірювання можна виконувати динамічним і статичним методами. При відносних вимірюваннях досить виміряти одну величину або довжину (деформацію пружини), або час (частоту коливань маятника або струни). До тридцятих років XX століття відносні вимірювання виконували тільки маятниковим методом. В даний час переважно використовують статичні гравіметри, які в порівнянні з маятниковими приладами мають ряд суттєвих переваг, а саме: короткий час спостереження, відносно висока точність вимірювання і портативність. Маятникові вимірювання на с>ші виконують тільки для створення опорних гравіметричних мереж, а на морі - для незалежного контролю вимірювання з гравіметрами. Для детального вивчення розподілу прискорення сили ваги на невеликих площах використовують дуже чутливі прилади- гравітаційні варіометри і гравітаційні градієнтометри. В даний час для вимірювання других похідних потенціалу сили ваги розповсюджені прилади статичного типу, які працюють за принципом кругильної ваги. їх застосовують при вивченні геологічної будови обмежених територій і розвідуванні корисних копалин.

1.5.0диниці вимірювання прискорення сили ваги і других похідних потенціалу сили ваги. Необхідна точність вимірювання

Потенціал прискорення сили ваги безпосередньо не вимірюєгься. Із спостережень можна визначити прискорення сили ваги і другі похідні потенціалу сили ваги. Сила тяжіння є та сила, з якою кожне тіло притягується до Землі. В Міжнародній системі одиниць СІ за одиницю сили тяжіння прийнято Ньютон (Н) - сила, яка тілу масою І кг надає прискорення 1м/с² у напрямі її дії. Розмірність сили в системі

CGS 1 дина-гсмс'²=10‘⁵Н, Звичайно сила тяжіння вимірюється прискоренням. За

f “V

одиницю прискорення в системі CGS прийнятоЦсм/с . Ця одиниця прискорення носить назву (Галгіна честь італійського вченого Галі лея, який вперше виміряв цю величину чотириста років тому. В практиці гравіметричних визначень часто вживається тисячна доля Гала-мілігал, а також при сучасній точності вимірів більш дрібна одиниця- мікрогал, тобто тисячна доля мілігала, або одна мільйонна доля Гала:

1Г1 см'с'²= 1 10'²м с'²,

1мГал-1 10'³Гал=1 10*⁵мс'²,

1мкГал=Г10'⁶Гал =Г 1СГ⁸ мс'²,

У гравіметрії замість точного виразу “прискорення сили ваги’ вживають скорочено “сила ваги”. Прискорення сили ваги на поверхні Землі змінюється приблизно від 978 до 983 Гал, збільшуючись від екватора до полюсів і зменшуючись на величину біля 0,ЗмГал/м з висотою над рівнем моря. Отже, величина сили ваги закономірно змінюється в різних точках поверхні Землі в залежності від географічного положення кожної точки (широти) і від висоти її над рівнем моря. Другі похідні потенціалу прискорення сили ваіи мають розмірність градієнта сили ваги

дЙ

= [с ² ] За одиницю

вимірювання приймають 10'⁹ цієї величніш, яку називають один Етвеш. Скорочено цю одиницю позначають через 1 Е - НГ⁹ с'²на честь видатного угорського фізика Р. Етвеша, який вперше розробив теорію і конструкцію приладу для вимірювання других похідних.

Між одиницею вимірювання сили ваги і других похідних потенціалу сили ваги існує зв’язок

їм Гал Ююи

l£ = M(rV²

Тобто, зміна сили ваги на 1 міліГал при віддалі 10 км відповідає одному Етвешу. Для поверхні Землі найбільшою за величиною другою похідною потенціалу сили ваги є

""і,

QV

похідна W = — порядок якої складає 3086 Е, або 0,3086 мГад/м.

PZ

Точність вимірювання сили ваги і других похідних потенціалу сили ваги залежить від задач, які необхідно розв’язувати за гравіметричними результатами. Так, для загальної характеристики гравітаційного поля і дослідження будови земної кори необхідно знати силу ваги з точністю (5-10 ) мілігал. Для розв’язку різних геодезичних задач - (0,5-1) мГал: і для цілей гравіметричної розвідки (0,02-0,5) мілігал. Для створення опорної гравіметричної мережі і вивчення змін сили ваги з часом ставляться вимоги (0,01-0,10) мілігал. Мікрогальна точність вимірювання сили ваги g необхідна для вивчення припливних і непришіивних варіацій сили ваги і для цілей геодинаміки. Отже, точність вимірювання сили ваги лежить в діапазоні (0,001-10) мілігал. Точність вимірювання других похідних потенціала сили ваги можна оцінити величиною 1Е, що є достатньою для розв'язування задач гравіметричної розвідки.

6. Нормальне гравітаційне поле Землі

Реальне гравітаційне поле Землі математично є дуже складним. Це насамперед пов'язано з тим, що Земля має склад,ну форму зовнішньої поверхні, а також складну внутрішню будову. Густина порід змінюється від поверхні Землі до її центра і в горизонтальному напрямі. Тому реальне гравітаційне поле Землі ділять на дві частини, нормальне і аномальне. Нормальне гравітаційне поле представляють простою моделлю, яка близька до реальної Землі. Модель гравітаційного поля прийнято називати нормальним гравітаційним полем. За фігуру такої “теоретичної” Землі приймають еліпсоїд обертання, поверхня якого є рівневою. Цей еліпсоїд називають рівневим еліпсоїдом, або Нормальною Землею. При підборі рівневого еліпсоїда необхідно, шоб задовольнялися такі умови:

1. Центр рівневого еліпсоїда збігається з центром мас Землі, а його головна вісь ^,нерціі збігається з віссю обертання Землі.

2. РЇВНЄВИЙ еліпсоїд обертається з такою самою кутовою швидкістю (О, що й реальна Земля.

3. Маса рівневого еліпсоїда дорівнює масі реальної Землі.

4 Зональні гармонічні коефіцієнти другого порядку для рівневого еліпсоїда і Реальної Землі повинні збігатися:

5 Нормальний потенціал U₀ сили ваги на поверхні рівневого еліпсоїда повинен дорівнювати реальному потенціалу W₀ сили ваги на рівневій поверхні яка проходить через початок відліку висот

Отже, сталі (0,1₂ ,/А7 і и₀ є основними, які визначають Нормальну Землю їх

називають фундаментальними геодезичними сталими, які характеризують Нормальну Землю До них належать такі величини велика піввісь рівневого еліпсоїда а (замість нормального потенціалу Uo), геоцентрична гравітаційна стала fM. зональний коефіцієнт І₂, кутова швидкість обертання Землі со

На XVII Генеральній Асамблеї Міжнародного геодезичного і геофізичного союзу в Канберрі (грудень 1979р ) була прийнята геодезична референційна система 1980 р (GRS 1980), яка визначає основні параметри глобального, найкращим чином апроксимуючого Землю еліпсоїда В GRS 1980 були вибрані такі чотири незалежні константи

а = 6378137м,

fM = 3986005 10^s м³-с'²,

h =108263 10"*,

0. =7292115 10'" с'¹.

Для порівняння наведемо параметри моделі Нормальної Землі геодезичної референційної системи 196//р, які були прийняті на XIV Генеральній Асамблеї Міжнародного геодезичного і геофізичного союзу

а=б378160м,

£М=3 98603 10⁹ м³ с'², і₂=108270 10'⁸, to=729211515 Ю'⁾³ с'¹

Відзначимо, що задається геоцентрична гравітаційна стала fM, яка включає атмосферу Землі Гравітаційнл стала f відома з точністю до чотирьох значущих цифр, а fM - з точністю до семи значущих цифр

На основі теорії еквіпотенціального (рівневого) еліпсоїда можуть бути знайдені всі інші сталі стиснення а, ексцентриситет е, екваторіальна сила ваги у і нормальний потенціал рівневого еліпсоїда U₀

a=0,003352810681=1/298,2572221, e² =0.006694380023,

=9.7803267715 м c'²,

U₀ =6263686.0850 lOVc'²

Наведемо також допоміжні безрозмірні величини і їх значення:

2 2 т

т = = 0.003449786,

JM

Р = ^7р ~^їе = 0.005302440. Y.

Нормальну' силу ваги у визначимо як похідну від нормального потенціал} U за напрямом зовнішньої нормалі п до рівневої поверхні

(1.30)

^ГдУ V д п.

У = “

ои

д р

Враховуючи, що кут між нормаллю п до U=const і радіусом-вектором р не перевищує 11, можна вважати, що

Визначимо тепер значення нормальної сили ваги у₀ на поверхні рівневого еліпсоїда U=U). Для знаходження сталої U₀ використаємо наближене значення потенціалу сили ваги, яке одержують із розкладу' його в ряд за сферичними функціями

ТГ _ № , ЯК -

^и0 ~ '^г з

О

Р

³ П

— cos в +

2 2)

JMq

+ р² sin² 0.

(1.31)

Після диференціювання одержимо

dU₀ jM 3/{А_т-С)(3 А iMq . ₃,

Г = = + Ц-со₅²в-~\+^рвтЧ

др р р \ 2 2 J а

При р=аз точністю до малих величин першого порядку

JM

У о -—г

а

З f 5

1 + <2--<7 + ^-<у-а jcos^ #

Якщо /9-0

а при #=■

Я"

умг, з

'*~1^1+в'ї*

Після нескладних перетворень одержимо

Я 7,-7. 5

P = -^£— = -q-a,

7. 2

Го = ^«0 + psm² В -/?, sin² 25),

(і 32) (1-33) (1-34)

(1-35)

0 36)

(і з?)

б?²а

Г,

^ «² 1 „ А = — + т«А

8 4

<9 - 90° * Я

Ці формули були одержані у XVIII столітті французьким математиком Клеро На початку XX століття (1928 р) Мінео одержав формулу нормальної сили ваги для триосного еліпсоїда

(ay cos² Я + by sin² A)cos² <p + су_с sin² (р

у = —, -■■■ . » (^13g)

yj(a² cos² Я + b² sin² 2)cos² <p + c² sin² <p

а в I929p - італійський вчений Сомільяна одержав замкнуту формулу для нормальної сили ваги у на двоосному еліпсоїді

ay _р cos² В + by sin² В

у = -J - ^Р (1 39)

у a² cos² В + b² sin² В

У цих формулах а, Ь, с - параметри триосного еліпсоїда У_а,У_ь,У_с -нормальна

сила ваги за напрямом головних осей і відповідно а, b - параметри ршневого еліпсоїда обертання, В-іеодезична широта пункта Формула (І 37) називається формулою розподілу нормальної сили ваги Коефіцієнти у_е (3 і {Зі формули визначають іа експериментальними даними про гравітаційне поле Землі Найбільш широке застосування мали формули Гельмерта (1901-1909 рр) і формула Кассішса Гельмерт використав дані для 1603 гравіметричних пунктів, розташованих на материках у північній півкулі

у₀¹⁹⁰⁹=9 78030(1+0 005302sin²B-0 0000070sin²2B) м с'² (1 40)

Форхіула Кассішса (1885-1964 )

уо¹⁹³⁰=9 78049(1+0 0052884sm²B-0 0000059sin²2B) мс'^! (1 41)

відповідає параметрам еліпсоїда Хейфорда, яка була прийнята в 1930р (Стокгольм) Міжнародною угодою, і через те й назвали Міжнародною Сила ваги у формулах Гельмерта і Кассішса виражена в Потсдамській системі, що вимагає для у₀ ввести поправку -14 мшгал Для переходу від формули Кассішса до формхли Гельмерта існує іалежність

у 0¹⁹⁰⁹= уо^іио-(19,0-13 2sin²B+l 07б5Іп²2В)мГал (1 42)

Формула нормальної сили ваги для геодезичної референційної системи 1980 року має вигляд

у о⁼9 7803266(1+0 0053024sin²B-0 00000585sm²2B)MC ² (1 43)

Другі похідні нормального потенціалу сили ваги визначають градієнти нормальної сили ваги і кривину рівневих поверхонь га силових ліній нормального потя

М

а{\ -е¹)

(1 - в² siir В)

3/2

Градієнти кривини LT і U_xy на поверхні Нормальної Землі можна визначити, якщо використати головні радіуси кривини еліпсоїда М і N:

N =

а

л/ї ^— є² sin² В

Тоді

=г

І _і L ]

Ш N)'

U

д

у -е²(] +cos2i?) 2N

(1.44)

a U_xy=0 через те,що нормальна сила ваги від довготи не залежить. Утримуючи члени порядку е², одержимо

Вертикальний градієнт и_гг нормальної сили ваги визначають через кривини головних нормальних перерізів

(1.45)

U„=y{ —+ —|+2йЛ Ш N)

З точністю до членів порядки е²

£/„. - — (2 + е² - 2е² sin² в) + 2со², a^v '

U„ =

д у 2 JM 2 у

С Z

На поверхні Землі при R=6371km

R^:

Я

(146)

Вертикальний градієнт нормальної сили ваги дуже мало залежить від широти. Якщо представити Землю однорідною кулею і нехтувати її добовим обертанням, то

Горизонтальний градієнт нормальної сили ваги в меридіональному напрямі

д у _ 1 д у

~дх~~к~дв'

де^-.

dx=RdB - елемент дуги меридіана Тоді похідна

U

XZ

^sin 2В, R

(149)

на підставі виразу

Ш

Г оризонтальний довготи Підставляючи

= у_ер sin 2 В

градієнт Uy_Z-0 через те, що нормальна сила ваги не залежить від в вирази (1 44, 1 46,1 49) чисельні значення сталих, одержимо

и_д=5 12(l+cos2B),

U_xz=-8 11 sin2B,

U_zz=3 086(1-0 00142sin²B), (1 50)

U₄*=0,

u_yz=o

де коефіцієнти виражені в етвешах