scherbo-sp1

Из выражения (в) можно заключить, что чем дальше от центрального слоя располагаются частицы площади сечения, тем больше момент инерции, а следовательно (при заданной высоте), больше и момент сопротивления.

Из четырех сечений, показанных на рис. 7.31, наиболее выгодно двутавровое сечение. Этим объясняется широкое применение в строительной практике двутавровых балок.

Рис. 7.31

Круглое сечение и в особенности крестообразное невыгодны и поэтому, как правило, для балок не применяются.

Прямоугольное сечение употребляют только в тех случаях, когда это оправдано с технологической точки зрения. Например, применяют деревянные брусья или пакеты из деревянных брусьев, так как изготовление деревянных двутавровых балок потребует большой затраты труда, что приведет к перерасходу средств.

7.9. Расчет составных балок

Прокатные двутавровые балки имеют размеры, установленные стандартом, их подразделяют между собой по номерам.

Высота стандартной балки, взятая в сантиметрах, численно совпадает с ее номером. Так, например, двутавры № 20, 30, 40 и т. д. имеют соответственно высоты 20, 30, 40 см и т. д.

Размеры полок и толщина стенки, площадь и моменты инерции двутавров приводятся в специальных таблицах ГОСТа.

Наибольшая высота по стандарту двутавровых балок № 70 равна 70 см. Двутавровые балки с еще большими размерами поперечных сечений не выпускают. При больших нагрузках и больших пролетах, требующих значительных размеров поперечного сечения балок, применяют так называемые составные балки с клепаными или сварными соединениями.

На рис. 7.32, а показана клепаная балка, составленная из вертикального листа, четырех уголков и четырех горизонтальных листов Указанные элементы соединены между собой заклепками.

121

Наряду с клепаными применяют сварные балки, у которых горизонтальные и вертикальные листы приварены друг к другу электрической или газовой сваркой (рис. 7.32, б). Составная балка имеет вертикальную стенку и пояса. Поясом называют пакет из горизонтальных листов и уголков.

Расчет составных балок производят следующим образом: 1) подбирают сечение (опреде-

Рис. 7.32 ляют основные размеры – высоту и ширину сечения и толщину

листов); 2) проверяют прочность всех соединений (определяют шаг поясных заклепок, количество заклепок, потребное для прикрепления листов, рассчитывают сварные швы и т. п.).

Подбор сечения производится из условия прочности балки в наиболее напряженном сечении

где M x max – наибольший расчетный момент;

Wxnetto – момент сопротивления всего сечения нетто; R – расчетное сопротивление стали.

Задав размеры сечения, необходимо вычислить его момент инерции и момент сопротивления нетто:

Jnetto = Jbrutto − Jосл.

Здесь Jbrutto – момент инерции сечения брутто;

Jосл – момент инерции ослаблений (момент инерции заклепочных отверстий).

Каждый момент инерции подсчитывается как сумма моментов инерции составляющих частей. Учитывая, что центр тяжести отдельных частей не совпадает с общим центром тяжести сечения, необходимо момент инерции каждой части определять по формуле

J x = J0 + Fc2 ,

где J0 – момент инерции какой-либо части относительно своей центральной оси, параллельной оси Ох;

F – площадь этой части (например, уголка); с – расстояние между осями.

122

После того как найден момент инерции сечения нетто, находят момент сопротивления нетто:

Wnetto = Jyxnetto . max

Далее проводят проверку прочности всего сечения в целом по формуле (7.16). Разница между σ и R должна быть не более 3 – 5 %. Для выполнения этого условия приходится последовательно менять размеры сечения.

Затем производят проверку сечения по скалывающим напряжениям на уровне нейтральной оси:

τ = Qy Sxотс ≤ Rcр.

J xby

Здесь Sxотс , а также Jx берутся без учета ослабления сечений.

В целях экономии материала сечение балки можно менять по ее длине. Это достигается тем, что горизонтальные листы как сверху, так и снизу обрывают на некотором расстоянии от середины балки. Для того чтобы определить место обрыва листов, надо найти изгибающий момент, который может выдержать сечение без обрываемых листов. Этот момент определяют по формуле

M1 =W1R.

Момент сопротивления сечения без соответствующих листов определяют делением момента инерции Jnetto для этого сечения на расстояние от центра тяжести до наиболее удаленного волокна. Определив расчетный момент Ml, который выдерживает уменьшенное сечение, по эпюре моментов находят место в балке, где изгибающий момент от заданной нагрузки равен значению M1. Эта задача легко решается по эпюре расчетных моментов. В месте обрыва листа необходимо проверить прочность балки по главным напряжениям, которые могут оказаться наибольшими на уровне поясной заклепки.

Рассмотрим теперь расчет поясных заклепок (рис. 7.33, а). Заклепки 1 и 2 (рис. 7.33, б) ставятся для того, чтобы устранить сдвиг одной части сечения относительно другой. Например, две заклепки 2 не позволяют горизонтальному листу сдвинуться относительно уголков, а заклепка 1 устраняет сдвиг пояса (уголков и горизонтального листа) относительно вертикального листа.

Сдвигающая сила, развивающаяся на единице длины, определяется по формуле

T1 = τb = Qy Sxотс . J x

123

По длине балки заклепки ставят друг от друга на расстоянии (рис. 7.33), следовательно, сдвигающая сила, накапливающаяся на этой длине, определится по формуле

где Qy – поперечная сила;

Jх – момент инерции (брутто);

Sxотс – статический момент отсеченной части.

Рис. 7.33

Все эти величины берутся в том сечении, в котором определяется сдвигающая сила Т.

Для того чтобы выявить сдвигаемую часть (при определении величины Sxотс ), необходимо мысленно устранить заклепку, которая подлежит

расчету, и представить себе, как при этом одна часть сечения сдвигалась бы относительно другой.

Сила, которую можно допустить на заклепку из условия среза, определяется равенством

= πd 2

Ncp 4 nRcp ;

соответственно из условия смятия имеем

Nсм = FcмRcм,

где n – число срезов заклепки; d – диаметр заклепки;

Rcp и Rсм – расчетные сопротивления при срезе и смятии;

Fcм – наименьшая площадь смятия (так, например, для заклепки 1 площадь смятия листа Fсм = δлd или уголков Fсм = 2δугd ).

Из равенства

Ncp =T

можно при заданных размерах и назначенном диаметре заклепок определить возможный шаг заклепок α.

При расчете составных балок приходится принимать во внимание конструктивные соображения. Например, шаг заклепок не должен быть чрезмерно большим, так как при большом шаге заклепки не может быть обеспечено плотное прилегание склепываемых элементов, из-за чего между листами развивается ржавчина. Такого рода конструктивные соображения подробно изучаются в курсах конструкций и поэтому здесь не рассматриваются.

Расчет сварной составной балки производят в основном так же, как и клепаной, но только с той разницей, что в сварных балках, как правило, отсутствуют ослабления, поэтому момент инерции и момент сопротивления определяются без учета ослаблений. Некоторая разница имеется в расчете соединений. В сварной балке рассчитывается сварной шов. Силу, которую выдерживает 1 см длины шва, находят из условий среза по плоскости с наименьшей толщиной, определяемой отрезком, исходящим из

поэтому сила, которую выдержит шов на срез, определяется равенством

N = 0,7hRср.

Далее можно определить требуемую толщину шва или просто убедиться в достаточной прочности назначенного шва из условия

N ≥T = Qy Sxотс . J x

7.10. Определение разрушающих нагрузок при изгибе балок за пределом упругости

Формулы нормальных и касательных напряжений, полученные ранее, справедливы только в том случае, когда изгиб происходит в пределах упругих деформаций.

Рассмотрим теперь более сложную задачу, когда возрастающая нагрузка доведет систему до разрушения.

Пусть, например, на балку, изготовленную из пластичного материала, действует сосредоточенная сила, приложенная в середине пролета (рис. 7.35).

125

Вначале балка будет работать в пределах упругих деформаций. Затем в середине пролета при некотором значении момента М в наиболее напряженной точке напряжения достигнут предела текучести (рис. 7.36, 1). При дальнейшем увеличении момента напряжения уже не будут распределены по закону треугольника. Характер распределения напряжений будет теперь зависеть от диаграммы растяжения и сжатия материала.

Рис. 7.36

Для простоты решения примем условную диаграмму, которая показана на рис. 7.37. Площадку текучести примем простирающейся безгранично. Эту диаграмму называют также идеализированной диаграммой Прандтля.

При увеличении нагрузки пластическая зона постепенно проникает в глубь сечения. Если сечение симметрично относительно обеих осей, то нейтральная ось все время остается на одном месте. Эпюра напряжений в сечении последовательно проходит стадии, показанные на рис. 7.36, 2 – 4. Упругая часть сечения все время сокращается. Можно условно считать, что в пределе упругое ядро пропадает, во всех точках сечения наступит текучесть, сечение полностью исчерпает свою грузоподъемность, и дальнейший рост деформаций будет происходить при постоянной силе. Интенсивно нарастающие деформации концентрируются в наиболее напряженном сечении (в нашем случае под грузом), в этом месте появится так называемый пластический шарнир. Момент в этом сечении достигнет предельной величины – величины разрушающего момента, который обозначают Mраз.

После того как образуется пластический шарнир, балка начнет складываться как механизм.

Нагрузку, при которой происходит исчерпание несущей способности балки, т. е. фактически происходит ее разрушение, называют разрушающей нагрузкой. Вычисление такой нагрузки не представляет особого труда. Так, для случая, показанного на рис. 7.35, предельный момент Мраз, возникающий в пластическом шарнире, необходимо приравнять изгибающему моменту, который вызывает сила Р:

Pl4 = M раз.

126

На рис. 7.35 показаны моменты Мраз, которые действуют со стороны шарнира на прилегающие звенья балки.

Ниже будет показано, каким образом вычислить Мраз исходя из размеров сечения и предела текучести материала.

Если сечение имеет только одну ось симметрии, совпадающую с плоскостью нагрузки (рис. 7.38), то прежде всего возникает вопрос об определении положения нейтральной оси. В этом случае нейтральная ось не совпадает с центром тяжести сечения.

В процессе деформации нейтральная ось постепенно удаляется от центра тяжести, и в предельном состоянии она займет положение, которое можно установить из того условия, что при изгибе нормальная сила равна нулю:

N = ∫σТdF − ∫σТdF,

Fсж Fраст

где FСЖ – площади сжатой и растянутой зон. После сокращения на σт получим

Fсж = Fраст. (а)

Таким образом, нейтральная ось х1х1 делит сечение на две равновеликие части. Площадь сжатой зоны равна площади растянутой зоны. Если сечение имеет две оси симметрии, то нейтральная ось х1х1 совпадает с осью хх. Для сечений, не симметричных относительно оси хх, расстояние между осями хх и x1xl следует определять из условия соблюдения равенства (а). Эта задача для каждого конкретного сечения решается самостоятельно.

Найдем значение разрушающего момента:

127

Здесь Sxсж1 – статический момент сжатой части сечения относительно нейтральной оси х1х1;

Sxраст – статический момент растянутой части сечения относительно

1

той же оси, взятый по модулю. Обозначим

Назовем эту величину Wn пластическим моментом сопротивления сече-

ния. Тогда разрушающий момент определяется равенством

M раз =W nσT .

Рассмотрим балку с прямоугольным сечением. Найдем для нее отношение разрушающего момента к моменту Ml, при котором появляется текучесть в наиболее напряженном волокне:

β = M раз = W nσT = W n .

M1 WσT W

Моменты сопротивления для прямоугольного сечения имеют следующие значения:

W = bh62 ,

по формуле (7.19) находим

W n = bh2 h4 + bh2 h4 = bh42 .

Подстановка в выражение для β дает

Таким образом, для балки с прямоугольным сечением разрушающий момент в полтора раза больше момента, который вызывает появление текучести наиболее удаленных от нейтрального слоя волокон. В зависимости от формы поперечного сечения коэффициент β изменяется. Так, для двутаврового сечения он меньше, чем для прямоугольного, поэтому при расчете балок за пределом упругости необходимо учитывать форму поперечного сечения.

128

РУКОВОДСТВО К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

ТЕМА № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СХЕМ ОПИРАНИЯ БАЛОК И РАМ

Цель занятия: изучить приемы, позволяющие наиболее рационально определять опорные реакции при различных схемах опирания балок и рам.

Типы опорных закреплений

Для плоской системы можно выделить следующие типы опорных закреплений:

1) шарнирно-неподвижная опора, позволяющая только поворот системы вокруг нее. В этой опоре в общем случае возникают две составляющие опорной реакции. Условные обозначения такой опоры приведены на рис. 1.1, а;

a)

б)

в)

г)

Рис. 1.1

2)шарнирно-подвижная опора накладывает связь только на вертикальное смещение. В этой опоре возникает реакция по направлению наложенной связи. Условное обозначение такой опоры приведено на рис. 1.1, б;

3)неподвижная жесткая защемляющая опора (жесткая заделка) на-

кладывает связи на все возможные перемещения, и в ней возникают три составляющих опорной реакции. Условное обозначение этой опоры приведено на рис. 1.1, в;

130