scherbo-sp1
.pdf
2. Определим положение центра тяжести сечения, для этого выбираем вспомогательные оси zy и определяем координаты центров тяжести швеллера и уголка в этих осях.
z1 = z0 =1,94см; y1 = h21 = 1802 = 90мм = 9 cм; z2 = −3,82; y2 = 3,82 см.
Положение центра тяжести сечения определяем по формулам:
|
z |
c |
= |
|
∑ Ai zi |
; |
y |
c |
= |
∑ Ai yi |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∑ A |
|
|
∑ A |
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
||
zc = |
20,7 1,94 − 27,3 3,82 = −1,34 см; |
||||||||||
|
|
|
|
20,7 + 27,3 |
|
|
|
|
|||
yc |
= |
20,7 9 + 27,3 3,82 = 6,05cм. |
|||||||||
|
|
|
|
20,7 + 27,3 |
|
|
|
||||
Через найденное положение центра тяжести проводим центральные оси zcyc параллельно вспомогательным осям zy и определяем координаты центров тяжести швеллера и уголка относительно центральных осей.
z1c = z1 − zc =1,94 −(−1,34) = 3,28см; z2c = z2 − zc = −3,82 − (−1,34) = −2,48см; y1c = y1 − yc = 9 −6,05 = 2,95см;
y2c = y2 − yc = 3,82 −6,05 = −2,23см.
3. Определим величину осевых и центробежных моментов инерции составляющих фигур и всего сечения относительно центральных осей zcyc.
|
|
J (1) |
= J |
z01 |
+ y2 |
|
A =1090 + 2,952 20,7 =1270,1см4 ; |
|
||||||||||
|
|
|
zc |
|
|
|
|
|
1c |
|
1 |
|
|
|
||||
|
J (2) |
= J |
z02 |
|
+ y2 |
|
A |
= 512 + (−2,23)2 27,3 = 647,8см4 ; |
|
|||||||||
|
|
zc |
|
|
|
|
|
2c |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
J (1) = J |
y01 |
+ z2 |
A = 86 +3,282 20,7 = 308,7 см4 ; |
|
|||||||||||
|
|
|
yc |
|
|
|
|
|
|
1c |
|
1 |
|
|
||||
|
J (2) |
= J |
y02 |
+ z2 |
|
A |
= 512 + (−2,48)2 27,3 = 679,9см4 ; |
|
||||||||||
|
|
yc |
|
|
|
|
2c |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
J (1) |
|
= J |
z01y01 |
+ z |
|
y |
A = 0 +3,28 2,95 20,7 = 200,3см4 |
; |
|||||||||
|
zc yc |
|
|
|
|
1c |
|
|
1c |
|
1 |
|
||||||
J (2) |
= J |
z02 y02 |
+ z |
2c |
y |
2c |
|
A |
= 301,5 + (−2,48) (−2,23) 27,3 = 452,5см4 ; |
|||||||||
zc yc |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
J |
zc yc |
= J (1) |
|
+ J (2) |
= 200,3 + 425,5 = 652,8см4 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
zc yc |
|
|
zc yc |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
161 |
|
4. Определим положение главных центральных осей UV.
tg2α = − |
|
2J z |
c |
y |
c |
|
= − |
|
|
2 652,8 |
|
|
|
= −1,4049; |
||||||||
J zc − J yc |
1917,9 −988,6 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2α = −54 |
o |
|
′ |
|
|
o |
|
′ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
34 ; |
α = −27 17 . |
|
|
||||||||||||||||
Оси zcyc необходимо повернуть на угол |
|
|
α = −27o17′ по часовой |
|||||||||||||||||||
стрелке, чтобы они стали главными центральными осями UV. |
||||||||||||||||||||||
5. Определим величину главных центральных моментов инерции се- |
||||||||||||||||||||||
чения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JU |
= Jmax = |
J z c + J yc |
|
± |
1 |
(J z |
c |
− J y |
c |
)2 + 4J z2 y |
c |
= |
||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
V |
min |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 1917,9 +988,6 |
± |
1 |
|
(1917,9 −988,6)2 + 4 652,82 = |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1453,25 ±801,28; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
JU = Jmax = 2254,53 см4 ,
JV = Jmin = 651,97 см4 .
Задачи для самостоятельного решения
Определить величину главных центральных моментов инерции, моментов сопротивления и радиусов инерции симметричных сварных сечений, составленных из прокатных профилей (см. таблицу). Совместная работа элементов составного сечения обеспечивается соединительными элементами, показанными пунктиром.
а) |
б) |
в) |
||
2 швеллера № 36 |
2 |
двутавра № 14 |
4 |
уголка 70×70×7 |
Двутавр № 14 |
2 |
листа 240×8 |
4 |
листа 200×6 |
Ответ: J x = 21680 |
с = 120 |
|
|
|
Ответ: J x = 3250 |
Ответ: J x =5940 |
|||
J y =11600 |
|
J y = 3180 |
|
J y = 5940 |
|
|
162 |
|
|
ТЕМА № 5
ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ НА СРЕЗ И СМЯТИЕ
Цель занятия: закрепить полученные теоретические сведения и выработать практические приемы по расчету заклепочных и сварных соединений, работающих на срез
На срез рассчитывают в основном различные соединительные элементы конструкций, в частности, штифты, заклепки, болты (точно пригнанные к отверстиям), а также сварные соединения валиковыми (угловыми) швами и соединения элементов деревянных конструкций.
Условие прочности при расчете по допускаемым напряжениям выражается формулой
τср = Q ≤[τcp ],
Acp
где τcp – расчетное напряжение среза (среднее касательное напряжение
в сечении);
Q – поперечная (сдвигающая) сила; Аср – расчетная площадь среза;
[τcp ] – допускаемое напряжение среза.
Детали, рассчитываемые на срез, и соединенные ими элементы конструкций во многих случаях должны рассчитываться также на смятие.
Расчет на смятие по допускаемым напряжениям выполняется по формуле
|
σсм = |
F |
≤[σсм], |
|
A |
||
|
|
cм |
|
где σсм |
– расчетное напряжение смятия; |
||
F |
– сила, передаваемая соединением; |
||
Асм |
– площадь сминаемой поверхности; |
||
[σсм]– допускаемое напряжение смятия.
Условие прочности сварного соединения, работающего на срез, при расчете по допускаемым напряжениям имеет вид
τэ = |
Q |
= |
Q |
≤[τэ], |
A |
0,7kl |
|||
|
ш |
|
|
|
где Q – суммарная срезающая нагрузка; l – длина периметра шва;
k – катет шва, обычно равен толщине привариваемого элемента; [τэ] – допускаемое напряжение на срез для сварных швов.
163
Рассмотрим расчет заклепочных и сварных соединений на конкретных примерах.
Пример 1.
Два листа толщиною t =10 мм соединены внахлестку шестью заклепками диаметром d = 20 мм (рис. 5.1). Определить величину допускаемых растягивающих усилий F и необходимую ширину листов в при допускаемых напряжениях: на растяжение [σ] =160 МПа, на срез [τ] =120 МПа и на смятие [σc ] = 320 МПа.
Рис. 5.1
1. Определим величину допускаемых растягивающих усилий F из условия прочности заклепочного соединения на срез.
τср = Q ≤[τ].
Acp
Срезающая сила Q = F , а площадь среза для соединения внахлестку
Acp = πd4 2 n,
где n – число заклепок
Acp = 3,144 22 6 =18,84 cм2 ; [τ] =120 МПа =12 кНсм2 .
F =[τ].
Acp
Отсюда
F = Acp [τ] =18,84 12 ≈ 226 кН.
164
2. Определим величину допускаемых растягивающих усилий из условия прочности заклепочного соединения на смятие
σсм = |
F |
≤[σcм]. |
A |
||
|
см |
|
Площадь смятия
Асм = t d n =1 2 6 =12 см2.
Отсюда
F= Aсм[σcм] =12 32 = 384 кН.
3.Окончательно выберем величину допускаемых растягивающих
усилий F = 226 кН, определяющую условие прочности заклепочного соединения на срез.
4. Определим необходимую ширину листов в, исходя из условия прочности ослабленного заклепками сечения листа на растяжение.
σ = |
F |
≤[σ]; |
А |
= t(b −2d) ; |
F |
=[σ]; |
|||
|
|
||||||||
|
|
Aнетто |
нетто |
|
|
t(b − 2d) |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
226 |
|
=16 ; 226 =16b − 64 ; |
b = |
226 + 64 |
=18,125 cм ≈181мм; |
||||
1(b − 2 2) |
16 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
b =181мм.
Пример 2.
Стык двух листов сечением 10×15 мм, перекрытый двумя накладками толщиной t1 = 6 ммкаждая, растягивается силами F =125 кН (рис. 5.2).
Проверить прочность заклепочного соединения, если с каждой стороны стыка поставлено по две заклепки диаметром d = 20 мм, при допускаемых
напряжениях: |
[σ] =160 МПа =16 |
кН |
; |
[τ] =100 МПа =10 |
кН |
; |
|||
|
|
|
кН |
|
см2 |
|
|
см2 |
|
[σ |
] = 320 МПа = 32 |
. |
|
|
|
|
|
||
c |
|
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
1. Проверим прочность заклепочного соединения на растяжение.
Наиболее опасным сечением будет сечение листа, ослабленного двумя отверстиями под заклепки, так как толщина листа t =10 мм меньше толщины двух накладок t1 = 6 мм (t < 2t1) .
σ = |
F |
= |
F |
= |
125 |
=11,36 кН |
см2 |
=113,6 МПа <[σ] =160 МПа. |
|
A |
|
(b − 2d)t |
|
15 − 2 2 |
|
|
|
|
нетто |
|
|
|
|
|
|
|
Прочность на растяжение обеспечена.
165
|
|
|
|
|
|
|
Проверим |
прочность заклепоч- |
|||||||
|
|
|
|
|
ного соединения на срез. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τср = |
Q |
= |
|
|
F |
|
|
≤[τ], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πd |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Acp |
|
2 |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.2 |
|
где |
n – число заклепок по одну сто- |
||||||||||
|
|
|
|
|
рону от стыка (n = 2) |
|
|
|
|||||||
τ |
2F |
= |
2 125 |
= 9,952 |
кН |
|
= 9952 МПа <[τ] =100 МПа. |
||||||||
|
cp πa2 n |
3,14 22 2 |
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Прочность заклепочного соединения на срез обеспечена.
2. Проверим прочность заклепочного соединения на смятие. Наиболее опасным на смятие является место контакта соединяемого листа с за-
клепкой (t ≤ 2t1) |
|
|
|
|
|
F |
|
Fcм |
|
|
|
||
|
|
|
σ |
см |
= |
|
= |
≤[σ |
c |
] |
|||
|
|
|
|
A |
|
dt n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
cм |
|
|
|
|
|
|
σсм = |
125 |
2 |
= 31,25кН |
см |
2 = 312,5 МПа ≤[σc ] = 320 МПа. |
||||||||
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Прочность заклепочного соединения на смятие также обеспечена. Следовательно, прочность заклепочного соединения обеспечена в
целом.
Пример 3.
Определить необходимую длину фланговых швов для соединения внахлестку двух полос сечением 10×80 мм и 10×100 мм (рис. 5.3), растягиваемых продольными силами F. Допускаемые напряжения принять: на растяжение полос [σ] =160 МПа, на срез швов [τэ] = 90 МПа. Учесть воз-
можный непровар в |
начале и в конце |
каждого шва |
по |
5 мм. |
|
(l = l расч + 2 ×5 мм). |
|
|
|
|
|
|
|
Определим допускаемую величину |
|||
|
|
||||
|
|
растягивающих усилий F из условия |
|||
|
|
прочности полосы сечением 80×10 на |
|||
|
|
растяжение. |
|
|
|
|
|
σ = F |
= F ≤[σ] =16 кН |
; |
|
|
|
A |
8 1 |
см2 |
|
Рис. 5.3 |
|
F = 8 16 =128 кН. |
|
|
|
|
166 |
|
|
|
|
1. Определим расчетную длину фланговых швов из условия прочности на срез
τ = |
|
F |
≤[τэ]; l = 2lр.ф. ; k =10 мм =1см; [τэ] = 90 Мпа = 9 |
кН |
2 . |
|||||||||||
0,7kl |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см |
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
F |
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2lр.ф. ≥ |
|
|
|
= |
|
≈ 20,4 см. |
|
|
|||||
|
|
|
0,7k[τэ] |
0,7 1 9 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Расчетная длина одного флангового шва |
|
l р.ф. =10,2 см. Действительную |
||||||||||||||
длину флангового шва необходимо принять равной |
|
|
||||||||||||||
|
|
l = lр.ф. + 2 0,5 =10,2 +1 =11,2 см. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Стальная полоса |
с |
размерами |
сечения |
|
|
|||||||||||
b = 0,1м |
и |
t = 0,01м, |
растягиваемая |
усилием |
|
|
||||||||||
F =150 кН, |
приваривается |
к |
фасонному |
|
листу |
|
|
|||||||||
внахлестку одним лобовым и двумя фланговыми |
|
|
||||||||||||||
швами (рис. 5.4). Определить наименьшую длину |
|
|
||||||||||||||
фланговых швов, необходимую для прикрепления |
|
|
||||||||||||||
полосы к фасонке, при допускаемых напряжениях
на срез швов [τэ] = 90 Мпа.
Рис. 5.4
Проверка прочности лобовых швов условно производится на срез. Принято считать, что усилие, воспринимаемое всеми
швами, равномернораспределяетсяпорабочемусечению. Следовательно
|
|
|
τэ = |
|
|
F |
|
≤[τэ]. |
|
|
|||||
|
|
|
0,7k(b |
+ 2l p ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда расчетная длина флангового шва |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
F |
|
|
|
1 |
|
150 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l ≥ |
|
|
|
|
−b |
= |
|
|
|
|
−10 |
|
= 6,9 см. |
||
2 |
0,7k[τэ] |
2 |
0,7 1 9 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Проектную длину шва (при учете ослабления непроваром только на одном конце) следует принять
l = lp + 0,5 = 6,9 + 0,5 = 7,4 см.
167
Пример 5.
Определить допускаемую величину растягивающих усилий для двух полос сечением 150×10, соединенных стыковым сварным швом (рис. 5.5). Принять допускаемое напряжение на разрыв сварного шва
[σэ] =140 МПа =14 кН
см2 .
Стыковые швы работают на растяжение. Условие прочности шва на растяжение
|
|
|
σ = |
F |
≤[σш]. |
|
|
Рис. 5.5 |
|
||
|
|
|
Aш |
||
Площадь поперечного сечения шва считают равной |
|||||
|
|
Aш = tl расч. |
|
|
|
В нашем примере t =10 мм =1см, |
|
|
|
||
l |
расч. |
= b − 2 0,5 =15 − 2 0,5 =14 см, |
A =1 14 =14 см2 . |
||
|
|
ш |
|||
Допускаемая величина растягивающих усилий
F = Aш [σ] =14 14 =196 кН.
Задания для самостоятельной работы
Решить следующие задачи:
1. Два листа сечением 100×6 соединены внахлестку заклепками диаметром d =14 мм и воспринимают растягивающие усилия F = 60 кН. Определить необходимое количество заклепок и проверить соединяемые листы на прочность, если допускаемые напряжения равны: [σ] =160 МПа,
[τ] = 90 МПа, [σc ] = 320 МПа.
2. Два листа толщиной t =10 ммсоединяются встык с накладками толщиной t1 = 4 ммзаклепками d = 20 мм. Заклепочное соединение под-
вержено растяжению силами F = 90 кН. |
Определить необходимое число |
заклепок и ширину листов, если |
[σ] =160 МПа, [τэ] = 90 МПа, |
[σc ] = 320 МПа. |
|
3. К фасонке присоединен швеллер № 20 при помощи фланговых швов с катетом k = 5 мм. Определить допускаемую величину растягивающих усилий и длину фланговых швов, если [σ] =160 МПа, а [τэ] = 90 МПа.
168
4. Для |
сварного соединения, изображенного на рис. 5.4, при |
b =120 мм, |
t =12 мм и l =10 см определить допускаемую величину растя- |
гивающей нагрузки F. |
|
ТЕМА № 6
КРУЧЕНИЕ БРУСЬЕВ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Цель занятия: Освоить практические приемы по определению внутреннихусилий, напряжений, расчетунапрочностьижесткость прикручении.
Для определения внутренних усилий (крутящих моментов) используется метод сечений. Знак крутящего момента принципиального значения не имеет, а по модулю он численно равен алгебраической сумме моментов внешних скручивающих моментов, расположенных по одну сторону сечения относительно оси бруса.
Напряжение в любой точке поперечного сечения в виде круга или кольца определяется по формуле
τ = Тк ρ,
Jρ
где Тк – крутящий момент в данном сечении; Jρ – полярный момент инерции сечения;
ρ – расстояние от центра тяжести (полюса) сечения до данной точки. Полярный момент инерции для сплошного круглого сечения равен:
|
|
|
|
|
Jρ = |
πd 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
32 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для кольцевого круглого сечения с наружным диаметром D и внут- |
|||||||||||||
ренним d полярный момент инерции |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Jρ = πD4 |
(1 −c |
4 ), где c = |
d |
. |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
||
Условие прочности при кручении по допускаемым напряжениям |
|||||||||||||
|
|
|
τmax = |
|
|
|
Тк |
|
max |
≤[τ], где |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Wρ |
|
|
|
|
||
|
Tк |
|
max – максимальный по модулю крутящий момент; |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
Wρ |
|
– полярный момент сопротивления поперечного сечения вала; |
|||||||||||
[τ] |
|
– допускаемое напряжение при расчете на кручение. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
169 |
|
|
|
||
Длякруглогосплошногосечениявалаполярныймоментсопротивления
Wρ = πd 3 , 16
а для кольцевого с наружным диаметром D и внутренним d Wρ = π16d 3 (1 − c4 ).
Если расчет выполняется по предельным состояниям, то крутящий момент определяется от расчетных значений внешних скручивающих моментов, а вместо допускаемого касательного напряжения подставляется расчетное сопротивление на срез.
Угол закручивания ϕ для вала постоянного поперечного сечения
ϕ = Ткl .
GJρ
Относительный угол закручивания (на 1 м длины)
θ = Тк (рад)
GJρ
при подстановке Тк в Нм, G в Па, Jρ в м4.
θo = Тк 180 .
GJρ π
Условие жесткости вала θo ≤[θo].
Рассмотрим расчет вала на конкретных примерах.
Пример 1.
Вал постоянного круглого сечения (рис. 6.1) нагружен внешними скручивающими моментами М1, М2, М3, М4. Значения трех моментов приведены на рисунке. Требуется:
1)определить величину скручивающего момента, значение которого не указано на рис. 6.1;
2)определить величину крутящих моментов Тк и построить эпюру изменения их по длине вала;
3)определить требуемый диаметр поперечного сечения вала, если допускаемое напряжение при кручении [τ] = 50 МПа;
4)построить эпюру углов закручивания относительно левого крайнего сечения;
170