1.4. Зависимость между перемещениями, напряжениями и деформациями

В настоящем параграфе рассматриваются условия деформирования грунтов (связи между перемещениями, напряжениями и относительными деформациями) с делением на стадии линейного деформирования и пластического течения (до и после достижения условия текучести в соответствии с уравнениями Мора-Кулона или Мизеса-Шлейхера-Боткина).

Соотношения Коши и обобщённый закон Гука. Напомним обозначения составляющих перемещений в точке U, W, V по направлениям осей X, Y, Z и введём обозначения деформаций: ε_x, ε_y, ε_z, γ_xy, γ_xz, γ_yz – относительные осевые и угловые деформации в прямоугольных координатах; ε₁, ε₂, ε₃ – главные относительные деформации.

Линейные соотношения, связывающие перемещения, относительные деформации и напряжения, имеют следующий вид.

Соотношения Коши связи между перемещениями и деформациями (выражают непрерывность и относительную малость перемещений):

, , ,

, , . (1.22)

Напомним читателям происхождение указанных выше уравнений. С этой целью рассмотрим проекцию и перемещения на плоскости XOZ элементарного объёма упругого тела с размерами dx dy dz (рис. 16). В соответствии с изображением на рисунке абсолютные удлинения по направлениям X и Z соответственно равны (дU/дх)dx и (дV/дy)dy, а относительные удлинения (деформации)

; .

Изменение угла в плоскости XOZ (см. рис. 16):

.

Аналогичным путём (при помощи проекций на плоскости XOY, YOZ) получим относительную деформацию ε_y и углы γ_xy, γ_yz.

Рис. 16. Проекция и перемещения элементарного объёма упругого тела

Положительные направления ε_x, ε_y, ε_z соответствуют удлинению по соответствующим направлениям, а γ_xy, γ_xz, γ_yz – уменьшению углов.

Уравнения закона Гука для сплошных изотропных расчётных областей имеют следующий вид.

Плоская деформация:

, ,

. (1.23)

Пространственное напряженное состояние:

, , , (1.24)

, , .

В уравнениях (1.23) и (1.24) обозначено: –модуль деформации, – коэффициент Пуассона (поперечной деформации), – модуль сдвига.

Продолжим рассмотрение тех же постулатов применительно к условиям осесимметричного напряжённого состояния и деформирования (рис. 17), принимая следующие обозначения: U, V – составляющие перемещений в точке в направлениях радиальной X и вертикальной Z осей; ε_x, ε_z, ε_θ, σ_x, σ_z, σ_θ – относительные деформации и напряжения в радиальном, вертикальном и тангенциальном направлениях; γ_xz, τ_xz – угловые деформации и касательные напряжения в плоскости XOZ; ε₁, ε₂, ε₃, σ₁, σ₂, σ₃ – главные относительные деформации и напряжения.

Рис. 17. Схема осесимметричного напряженного состояния

Соотношения Коши и уравнения закона Гука:

, , , ; (1.25)

, ,

, . (1.26)

Инварианты относительных деформаций. При анализе результатов экспериментов и постановке задач строгой теории используются инварианты деформаций, подобные инвариантам тензора напряжений I₁, I₂: первый инвариант J₁ тензора деформаций, равный объёмной деформации ε_v:

J₁= ε_v=ε₁+ ε₂+ ε₃= ε_x+ε_y+ε_z; (1.27)

второй инвариант девиатора деформаций:

J₂ = [(ε₁−ε₂)²+(ε₂−ε₃)²+(ε₃−ε₁)²]=

= [(ε_x−ε_y)²+(ε_y−ε_z)²+(ε_z−ε_x)²+1.5(γ_xy²+γ_yz²+γ_xz²)]; (1.28)

интенсивности линейных ε_i и угловых γ_i деформаций:

; . (1.29)

Характеристики деформируемости грунтов. В рассматриваемых ниже расчётных моделях используются три деформационные характеристики грунтов: модуль деформации Е, модуль упругости Е_е и коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) ν. Различие между модулями Е и Е_е заключается в том, что первый из них отражает полную деформацию, состоящую из линейной и нелинейной (обратимой и необратимой) составляющих на допредельной стадии деформирования, второй отражает только упругую (восстанавливающуюся) часть деформаций, которая фиксируется при снятии и повторном приложении нагрузки.

Назначение деформационных характеристик относится к числу наиболее ответственных решений при проектировании, особенно в сочетании с численными методами, ведущими к расширению области использования деформационных расчётов. Существуют многочисленные таблицы (в том числе в приложении Б СП 22.13330.2011), связывающие модули деформации Е с физическими характеристиками грунтов. Табличные данные используются на практике в связи с ограниченными возможностями проведения специализированных инженерно-геологических изысканий при проектировании объектов средней технической сложности. В указанном нормативном документе предусмотрена возможность упрощённого назначения модуля упругости по соотношению Е_е=5Е.

Для коэффициентов ν также существуют табличные значения, последний вариант которых содержится в табл. 5 , повторяющей данные СП 22.13330.2011, табл. 5.10.

Таблица 5

Коэффициенты поперечной деформации

Грунты	Коэффициенты поперечной деформации ν
Крупнообломочные грунты	0,27
Пески и супеси	0,30−0,35
Суглинки	0,35−0,37
Глины при показателе текучести IL≤0 0< IL≤0,25 0,25< IL≤1	0,20−0,30 0,30−0,38 0,38−0,45

Табличные данные в нормативно-методических документах отражают обширный эмпирический материал, основанный на полевых и лабораторных измерениях. Знание схем и способов проведения различных видов испытаний позволяет лучше понимать физическое содержание рассматриваемых характеристик, учитывать погрешности их измерений.

Одним из способов лабораторного определения деформационных характеристик является рассмотренный выше метод трёхосного сжатия образцов грунта по версии консолидированно-дренированного испытания. Модуль деформации и коэффициент поперечной деформации в опыте при постоянном значении напряжений σ_1,2 определяются по формулам

, , (1.30)

где Δσ₃ – приращение напряжений σ₃ в заданном диапазоне; , , – приращение относительной вертикальной, поперечной и объёмной деформаций образца; Δh, ΔV – абсолютные вертикальная и объёмная деформации образца грунта с учётом поправки на сжатие камеры, h, V – начальные высота и объём образца.

Другими известными способами определения Е и ν являются следующие эксперименты. Лабораторные испытания: компрессионные, одноосные. Полевые измерения: штамповые, прессиометрические испытания, статическое и динамическое зондирование. Их описание не относится к задачам настоящего издания.

Фазы напряжённого состояния грунтов. Диаграмма Прандтля. В теории механики грунтов принято выделять две фазы напряжённо-деформированного состояния грунта: 1) фазу уплотнения и локальных сдвигов; 2) фазу значительных сдвигов.

Первая фаза характеризуется преобладанием деформаций уплотнения, близкой к линейной зависимостью между напряжениями и деформациями, быстрым затуханием деформаций. Если оценивать напряжённое состояние грунта в соответствии с условиями текучести Мора-Кулона и Мизеса-Шлейхера-Боткина, то на данной стадии площадки сдвига (пластические области) только зарождаются либо не образуются вообще. Состояние грунта оценивается как допредельное.

При возрастании величины и неравномерности нагрузки площадки скольжения соединяются, образуя развитые поверхности. Грунт переходит в близкое к предельному состояние, которому присущи разрывы сплошности или образование обширных пластических областей с нелинейной связью между напряжениями и деформациями. Такое напряжённое состояние, если оно приближается к исчерпанию несущей способности или характеризуется прогрессирующей текучестью, является недопустимым.

При проектировании (расчётах) геотехнических объектов с использованием в качестве теоретической основы законов Гука, Кулона, уравнений Мора-Кулона, Мизеса-Шлейхера-Боткина принимается билинейная зависимость ε=f(σ), известная в теории как диаграмма Прандтля (рис. 18), позволяющая получить качественно верную, удовлетворяющую практическим требованиям картину напряжённо-деформированного состояния. Точка А на билинейной диаграмме изображает предел текучести. Условия деформирования грунта на наклонном и горизонтальном участках билинейной диаграммы качественно отличаются и описываются разными уравнениями.

Для наклонного участка ОА принимается модель линейно-деформируемого тела, описываемая обобщённым законом Гука и характеризуемая модулем деформации Е и коэффициентом Пуассона ν.

Рис. 18. Двухмерная аналогия зависимостей к модели упругопластического тела в соответствии с диаграммой Прандтля

В соответствии с уравнениями закона Гука направления векторов главных напряжений (σ_1,2) и главных относительных деформаций (ε_1.2) совпадают или (в терминах теории деформируемых тел) соосны, коаксиальны. Объёмная деформация в теле Гука

ε_v=ε_x+ε_y+ε_z= (σ_x+σ_y+σ_z)= (σ₁+σ₂+σ₃). (1.31)

Девиатор напряжений {σ₁–σ_m σ₂–σ_m σ₃–σ_m} не воздействует на объёмную деформацию.

Достижение предела текучести связано с наступлением предельного напряжённого состояния грунта в соответствии с уравнениями Мора-Кулона или Мизеса-Шлейхера-Боткина. На горизонтальном участке диаграммы ОАВ численные значения деформаций (перемещений) не определяются, а их векторы описываются соотношениями теории пластичности, которые рассматриваются ниже.

Понятие о векторах пластических деформаций. Дилатансия. При решении смешанных задач теории упругости и пластичности требуется расчётное описание вектора относительных деформаций на ветви АВ (см. рис. 18) диаграммы Прандтля. При этом рассматриваются два вопроса: об ориентации осей тензора-девиатора деформаций и о влиянии формоизменения на объёмное деформирование.

На стадии пластического течения векторы главных напряжений и деформаций так же, как и на упругой стадии, принимаются соосными. Однако в этом случае рассматриваемое положение вводится не как следствие физических уравнений, а в качестве самостоятельного допущения, основанного на экспериментальных данных или полученного при помощи соотношений теории пластического течения.

Изложенные выше положения позволяют считать соосными векторы главных напряжений, линейных и пластических составляющих главных деформаций на всех стадиях деформирования элементарного объёма (точки) грунтовой среды.

Ещё одним положением теории деформирования на стадии пластического формоизменения является наличие дилатансии, т. е. изменения (как правило, увеличения, «разрыхления») объёма. Явление дилатансии при сдвиге грунтов зафиксировано во многих экспериментах и объясняется как следствие изменения взаимного положения («переупаковки») частиц грунта при формоизменении.

Пластическое деформирование элементарного объёма грунта в условиях плоской деформации происходит в соответствии со схемой на рис. 18 по уравнению

, (1.32)

где ε_1,2^р – пластические составляющие главных деформаций; λ – малая скалярная величина; Λ_* – параметр дилатансии, константа, отражающая изменение объёма при формоизменении (сдвиге) грунта в условиях плоской деформации. Из уравнения (1.32) следует, что

. (1.33)

Наличие коэффициента Λ_*≠0 отличает деформацию в соответствии с уравнением (1.32) от течения при постоянном объёме, где ε_1,2^p=± , а на площадках, наклонённых под углом 45⁰ по отношению к осям главных напряжений, имеет место ε^p_π/4=0, γ^р_π/4= (ε₁^р – ε₂^р) = .

Рис. 19. Формоизменение и дилатансия элементарного объема грунта при пластическом деформировании: 1 – первоначальные размеры; 2 – сдвиг при постоянном объеме (Λ*=0); 3 – формоизменение с дилатансией (Λ*>0)

Ассоциированный и неассоциированный законы течения. Теория пластического течения связывает поле скоростей (приращений) пластических деформаций с частными производными некоторой функции F=0, называемой пластическим потенциалом:

, (1.34)

где λ – неопределённый положительный коэффициент пропор-циональности, малая скалярная величина. Пластический потенциал F(σ_ij)=0 описывает в п-мерном пространстве напряжений некоторую поверхность. Математически зависимость (1.34) означает перпендикулярность вектора приращений (скоростей) пластических деформаций к линии или поверхности F=0.

В частном случае, если в качестве пластического потенциала принять уравнение текучести (1.7) или (1.20) F =F^р=0, соотношение

(1.35)

будет выражать ассоциированный закон течения. Данный термин связан с общей (ассоциированной) записью зависимостей, определяющих предельное напряжённое состояние и вектор пластического течения.

Уравнениям пластических потенциалов

,

можно придать более общий вид путём подстановки вместо sinφ и α параметров дилатансии Λ_*, Λ, определяемых экспериментальным путём, выражающих линейную связь объёмных деформаций и формоизменения в условиях плоской деформации и пространственного напряжённого состояния. Новые соотношения [3]

, (1.36)

(1.37)

описывают пластические потенциалы неассоциированного закона течения.

Из уравнений (1.34)–(1.37) следуют важные в практическом отношении зависимости. При F=0, определяемом уравнением (1.36), в условиях плоской деформации

; . (1.38)

Обратим внимание на то, что соотношения последней строки повторяют приведенные выше уравнения (1.32), (1.33) с графической иллюстрацией на рис. 19.

Графической формой уравнений (1.32)–(1.38) являются диаграммы на рис. 20, изображающие пластические потенциалы F^р=0 и F=0 и векторы ассоциированного и неассоциированного законов течения на плоскости главных напряжений σ₁, σ₂.

Рис. 20. Пластические потенциалы неассоциированного (ассоциированного) законов течения 1(2) и соответствующие им векторы пластических деформаций 3(4)

При F=0 в соответствии с (1.37) в условиях пространственной задачи

. (1.39)

В соответствии с последним уравнением объёмная пластическая деформация J^р₁=ε^р₁+ε^р₂+ε^р₃=3λΛ, а выражение

.

Откуда следует

. (1.40)

В научной литературе и некоторых программах расчётов геотехнических объектов используется термин «угол дилатансии», связывающий объёмную деформацию при сдвиге с деформацией сдвига ψ=arc tg Λ_* (или Λ).

Следствием изложенного выше являются следующие кинематические свойства рассматриваемой модели:

– тензоры-девиаторы скоростей пластических деформаций и напряжений соосны (коаксиальны);

– пластические деформации формоизменения должны сопровождаться относительным увеличением объёма со скоростью λΛ_* или 3λΛ.

Указанные выше положения подтверждаются большинством экспериментов, и их практическое использование можно считать пригодным для прикладных задач. Обобщение большого числа опытных исследований (А. К. Бугров, 1980¹) позволило сделать вывод о том, что относительное увеличение объёма, сопровождающее формоизменение, меньше или близко к значениям ассоциированного закона: в экспериментах с плотными грунтами Λ_*=(0.87÷1.00)sinφ, а в опытах с грунтами рыхлыми и средней плотности Λ_*=(0.30÷0.50)sinφ.

Модель Друккера-Прагера в соответствии с описанием в статье [9] является версией модели Мизеса-Шлейхера-Боткина со следующими особенностями.

В качестве условия текучести принято уравнение (1.20)

. (а)

Описание деформирования после достижения предела текучести в соответствии с ассоциированным законом течения:

или

, (б)

где

I₁=σ_х+σ_z+σ_y=σ₁+σ₂+σ₃, (в)

I₂= [(σ_х–σ_z)²+(σ_z–σ_y)²+ (σ_y–σ_x)²]+τ_xz²+ τ_xy²+τ_yz² (г)

– первый инвариант тензора и второй инвариант девиатора напряжений в точке (элементарном объёме) грунта.

В условиях плоской деформации τ_xy=τ_yz=0. Требуется, чтобы третья (нормальная к расчётной плоскости) главная деформация ε₃=ε_у равнялась нулю, и грунт одновременно удовлетворял уравнению (а)–(1.17) и условию текучести Мора-Кулона (1.7):

. (д)

Основываясь на этих соображениях, можно сделать следующие записи:

; (1.41)

; (1.42)

; ;

; (1.43)

. (1.44)

Подстановка (1.44) в уравнение (г) после некоторых преобразований позволяет получить

.

Из последнего уравнения следует:

или

. (1.45)

Подстановка (1.42) в уравнение (а)–(1.20) F^p=0 позволяет получить

F^p=3α[½(σ_x+σ_z)]+(1–3α²) –k=0. (1.46)

Заменяя в последнем выражении правой частью уравнения (1.45), получаем

. (1.47)

Уравнение (1.47) является одновременно тождественной формой выражений (а)–(1.20) и (д)–(1.7) при условиях

, , .

Если приближённо принять , можно получить простые соотношения связи между парами прочностных характеристик α, k и φ, с

, . (1.48)

О сопротивлении грунта растяжению. При проектировании, а также реальном поведении сооружений возможны условия, когда на некоторой части грунтового массива возникает растяжение. Грунты слабо сопротивляются растягивающим напряжениям, в зонах их действия образуются трещины, отрыв поверхностей фундаментных конструкций от основания (например, при воздействии на сваю горизонтальной силы). В расчётах обычно принимается, что грунт работает только на сжатие, не воспринимает растягивающие напряжения, деформируется при их воздействии без сопротивления. Важным аргументом в пользу такого допущения является соображение о том, что даже в тех случаях, когда растягивающие напряжения незначительны и не вызывают разрывов, теряет силу закон внутреннего трения и модуль деформации значительно ниже, чем при сжатии.