2.3.2. Формирование систем уравнений

Стержневая система. Равновесие k-го узла. Каждое уравнение глобальной системы выражает равновесие узловых сил по направлению одного из перемещений. Каждое неизвестное представляет собой одно из возможных (определяемых в расчёте) перемещений каждого узла, объединяющего концы контактирующих элементов.

На рис. 31, а показан фрагмент плоской стержневой системы с тремя степенями свободы в узлах. В k-м узле соединяются два конечных элемента M и N с номерами узлов i−k и k−l в общей системе и 1−2 в местных системах. К k-му узлу приложены силы P_1k, P_2k, Р_3k , приведенные к общей системе координат.

Равновесие k-го узла может быть выражено при помощи уравнений

P_1k= F^M₄cosα_M − F^M₅sinα_M+F^N₁cosα_N −F^N₂sinα_N,

P_2k= F^M₄ sinα_M +F^M₅cosα_M+F^N₁sinα_N +F^N₂cosα_N,

P_3k= F^M₆+F^N₃,

где индексы M и N соответствуют номерам КЭ в общей системе, углы α_M и α_N показаны на рис. 31, а; F^M_4,5,6, F^N_1,2,3 – узловые силы в стержнях в местных системах.

а) б)

Рис. 31. Схемы к уравнениям равновесия k-го узла:

а – стержни M и N в общей системе, узловые силы P_1k, P_2k, Р_3k;

б – те же стержни в местных системах, векторы F^M_4,5,6, F^N_1,2,3

Те же уравнения в матричной форме

. (2.43)

Уравнения (2.43) могут быть преобразованы следующим образом. Сначала при помощи соотношений (2.4) силы F^M_4,5,6, F^N_1,2,3 выражаются через перемещения U₁, U₂…U₆. Затем вместо U₁, U₂…U₆ с помощью геометрических равенств (2.41) вводятся перемещения узлов i, k, l с обозначениями x_qs (где q=1, 2, 3 – индексы направлений; s= i, k, l – номера узлов). Покажем это на примере первого слагаемого матричного уравнения (2.43):

. (2.44)

В уравнениях (2.44) индексы М по-прежнему используются для обозначения параметров, относящихся к стержню i−k. Запись второго слагаемого в уравнении (2.43) аналогична (2.44), но индексы М заменяются на N, а из матрицы жёсткости (2.4) используются первые три строки.

В развёрнутой записи уравнения (2.43)–(2.44) содержат по девять членов: по числу перемещений x_qs (q=1, 2, 3; s=i, k, l), вызывающих реакции в узле. Уравнения (2.43)–(2.44) являются фрагментом общего матричного соотношения, в котором представлены узловые силы и перемещения по направлениям степеней свободы в каждом узле. Это и есть глобальная система уравнений, неизвестными в которой являются перемещения x_qs.

Равновесие k-го узла континуальной и комбинированной систем. Порядок составления систем уравнений для расчётных областей, состоящих из плоских (двухмерных) и пространственных КЭ, а также их сочетаний со стержневыми КЭ, аналогичен изложенному выше. Геометрические преобразования, подобные (2.41) и (2.42), как правило, не производятся, так как векторы степеней свободы в местной и общей системах совпадают.

Покажем построение уравнений равновесия на примере k-го узла комбинированной системы на рис. 32,а. В этом узле объединены вершины четырёх прямоугольных КЭ: А, B, C, D и концы двух стержневых КЭ: М и N.

Уравнения равновесия сил, сходящихся в k-м узле:

,

, (2.45)

.

а)	б)

Рис. 32. Схемы к уравнениям равновесия k-го узла комбинированной системы: а – стержни М, N, прямоугольные КЭ А, B, C, D в общей системе, узловые силы P_k; б – те же КЭ (условно раздвинуты) в местных системах (номера узлов 1, 2, 3, 4 те же, что а, b, с, d на рис. 27,в)

Последующие выкладки, выполняемые программой, заключаются в замене сил F произведениями перемещений узлов, присутствующих на схемах (на рис. 32 всего 9 узлов и 21 перемещение: по три степени свободы в узлах i, k, l и по две – в остальных шести узлах), на соответствующие коэффициенты матриц жёсткости конечных элементов. Всего в первое уравнение системы (2.45) войдут 18 неизвестных перемещений, во второе уравнение 21, в третье уравнение 6.

Уравнения (2.45) в развёрнутой записи являются частью общей (глобальной) системы, в которой участвуют все действующие (известные) узловые силы Р_1,2,3k и перемещения по направлениям степеней свободы в каждом узле.