1.3. Условия предельного напряженного состояния грунтов

Закон Кулона. Сжатие со сдвигом (формоизменением) является основным видом напряжённого состояния грунта в точке. При этом по каждой площадке элементарного объёма грунта действует нормальная _n и касательная _n составляющие напряжений (рис. 7,а). Закон внутреннего трения Кулона устанавливает равенство (предельное равновесие) сдвигающих и удерживающих сил на рассматриваемой площадке в соответствии с уравнением

, (1.3)

где  и с – характеристики сопротивления грунта сдвигу: угол внутреннего трения и удельное сцепление.

Альтернативные уравнению (1.3) неравенства (или ) означают допредельное, устойчивое (или физически невозможное) соотношения напряжений.

Рис. 7. Схема к уравнениям закона Кулона

Метод лабораторного определения сопротивления грунтов срезу. Конкретизацией физического смысла уравнения (1.3) и характеристик с, φ является метод лабораторного определения сопротивления срезу песчаных и глинистых грунтов согласно ГОСТ 12248-2010. На рис. 8 изображена схема прибора для испытания грунтов на срез по фиксированной плоскости. Основными узлами срезной коробки являются: неподвижная 1 и подвижная 2 части, кольцо 3 с образцом грунта 6, штамп 4.

Образцы грунта должны иметь форму цилиндра диаметром не менее 70 мм и высотой от 1/3 до 1/2 диаметра.

Рис. 8. Схема прибора для испытания грунтов на срез:

1 – неподвижная часть; 2 – подвижная часть – каретка; 3 – кольцо; 4 – штамп;

5 – индикаторы; 6 – грунт; 7 – соединительные винты; 8 – ролики

ГОСТ 12248-2010 предусматривает две схемы выполнения опыта в срезном приборе: консолидированно-дренированный (медленный) и неконсолидированный быстрый срез. Сравнение схем испытания содержится в табл. 4.

Таблица 4

Характеристика и сравнение схем испытания

образцов грунта в срезном приборе

Наименование сравниваемых характеристик	Консолидированно-дренированный срез		Неконсолидированный быстрый срез
Цель опыта	Определение характеристик прочности грунта: угла внутреннего трения, удельного сцепления
	в условиях стабилизированного состояния	в условиях нестабилизированного состояния
Исследуемые грунты	пески и глинистые грунты независимо от коэффициента водонасыщения	водонасыщенные глинистые и органоминеральные грунты; просадочные грунты, замоченные до полного водонасыщения
Описание опыта	испытание на срез грунта, предварительно уплотненного вертикальной нагрузкой, проводимое в условиях дренирования путём повышения срезающей нагрузки с такой скоростью, при которой обеспечивается полная консолидация грунта (медленное испытание)	испытание на срез грунта (без предварительного уплотнения), проводимое в условиях (практически) отсутствия дренирования путём приложения вертикальной и срезающей нагрузок с такой скоростью (быстрое испытание), при которой обеспечивается практическая неизменность начальных значений плотности и влажности грунта

Главная часть опыта по схеме консолидированно-дренированного среза заключается в следующем. После передачи на образец грунта фиксированной нагрузки Р начинается приложение горизонтальной силы Т в кинематическом или статическом режиме. При кинематическом режиме горизонтальная сила возрастает с постоянной скоростью деформации среза образца. При ступенчатой передаче срезающая нагрузка добавляется шагами, равными 0,05Р. Испытание считается законченным после того, как на очередной ступени горизонтальной нагрузки фиксируется мгновенный срез или относительная деформация 10%.

Результатом однократного испытания образца является сопротивление грунта срезу (А –площадь среза). Опыт повторяется не менее трёх раз, принимая для каждого образца различные величины . Для опытов одной серии используются образцы, вырезанные из однородного монолита. Обработка результатов опыта заключается в построении линейного графика зависимости τ=f(σ) (рисунок 9), которая представляет собой графическую форму закона Кулона. В условиях опыта напряжения τ и σ тождественны τ_п и σ_п в уравнении (1.3).

Рис. 9. Графическая форма закона Кулона; точки 1, 2, 3 изображают результаты испытаний отдельных образцов

Предельное напряжённое состояние грунта. Плоская деформация. В теории предельного напряжённого состояния условие прочности по уравнению (1.3) рассматривается на точечном уровне: в элементарном объёме грунтового массива.

Уточним некоторые понятия. Под напряжённым состоянием в точке (на плоскости или в пространстве) понимается совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем возможным площадкам, пересекающимся в этой точке.

Компоненты напряжений , на произвольной площадке могут быть определены, если известны напряжения (например , , ) на двух взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через ту же точку (рис. 10, а):

;

. (1.4)

Формула, по которой определяются главные (максимальное и минимальное ) напряжения

, (1.5)

также получена по условиям равновесия. Напомним, что площадки, на которых действуют главные напряжения , также называются главными. Касательные напряжения на этих площадках равны нулю.

Если предположить, что две взаимно перпендикулярные площадки на рис. 10,а являются главными, то в соответствии с (1.4) можно записать

; . (1.6)

Графической иллюстрацией условий равновесия в точке является диаграмма на рис. 10, б, изображающая круг Мора. Горизонтальная ось (х) является осью нормальных напряжений σп, а вертикальная ось (z) – осью касательных напряжений τп. Аналитическая геометрия даёт следующее уравнение для точек окружности с центром в точке О1: (x–d)2+z2=R2. (a) Запишем также: , (b) Координаты точки п: xn=d+Rcos2α1, zn=Rsin2α1. (c) Если принять, что x1=σ1, x2=σ2, xп=σп, zn=τп , то произведя соответствующие замены и подставляя (b) в (c), можно получить записи, тождественные (1.6): ; , где α1 – угол пересечения площадок 1 и n (см. рис. 10,б). На площадке п1, перпендикулярной п и образующей с площадкой 1 угол α1+π/2, действуют компоненты напряжений σп1, τп1, изображённые на круге Мора точкой п1 и определяемые по тем же уравнениям (1.6) с подстановкой в них α1+π/2 вместо α1. Следовательно, точки п и п1 являются изображениями нормальных и касательных напряжений σп, τп и σп1, τп1 на взаимно перпендикулярных площадках, а круг Мора – геометрическим местом изображений компонентов напряжений на всех площадках, проходящих через точку деформируемого тела.

а)
б)

Рис. 10. Схемы к описанию напряженного состояния в точке:

а – к уравнениям (1.4) и (1.6); б – круг Мора и взаимное положение площадок 1, п и п₁

Объединение уравнений (1.3) и (1.6) позволяет получить угол наклона площадок скольжения к главным площадкам 45⁰∓φ/2 и запись

, (1.7)¹

которая известна как условие прочности грунта в точке по Мору-Кулону.

На рис. 11, а, б представлены графические иллюстрации к уравнению (1.7). Прямая АВ, выражающая зависимость (1.3), совмещена на одном графике с кругами Мора, изображающими три качественно различных напряжённых состояния грунта в точке (см. рис. 11, а). Расположение круга Мора ниже прямой АВ означает, что левая часть уравнения (1.7) меньше нуля и прочность грунта обеспечена. Касание прямой АВ круга Мора с центром О₂ показывает, что на одной из площадок, проходящих через исследуемую точку, имеет место предельное равновесие в соответствии с зависимостью (1.7). Уравнение (1.7) может быть получено из построений на диаграмме для этого круга: О₂С=О₂D+DC, где О₂С=½(σ₁–σ₂), О₂D=½(σ₁+σ₂) sinφ, DC=c cosφ. Из рассматриваемого рисунка (круг Мора с центром О₂) также видно, что вектор О₂С образует с осями главных напряжений σ_1,2 углы π/2±φ, что соответствует углам наклона площадок скольжения к главным площадкам 45⁰∓φ/2.

Согласно излагаемой теории круг Мора не должен пересекать прямую, выражающую закон Кулона, так как грунт не может воспринять изображаемое напряжённое состояние. Если по результатам расчёта такое положение (круг с центром О₃) всё же получено, то это свидетельствует о несовершенстве метода определения компонентов напряжений в грунтовом массиве.

а)		б)
		Рис. 11. Графические иллюстрации к условию прочности Мора-Кулона (а) и области COAB физически возможных напряженных состояний на плоскости , (б)

На рис. 11, б изображена плоскость главных напряжений . Ось симметрии ОС соответствует гидростатическому напряжённому состоянию

( ). Так как ( ), действительной является только часть диаграммы выше оси ОС. Если напряжённое состояние в элементарном объёме грунта изображается точкой М с координатами , , то точка L соответствует , а проекции отрезка LM на оси координат равны . Прямая АВ, наклонённая к оси под углом и пересекающая её на расстоянии от начала координат является графической формой уравнения (1.7). Поэтому для грунта физически возможными считаются только такие координаты , , при которых изображаемая точка находится в области ОАВС.

В учебной и научно-технической литературе встречаются записи условия прочности грунта в точке, тождественные уравнению (1.7), полученные в результате его преобразований. Приведём два из таких выражений:

, (1.8)

, (1.9)

где – характеристика грунта, называемая «давлением связности».

Условие прочности по Мору-Кулону широко и успешно применяется в научных исследованиях и инженерной практике. В настоящее время в теории механики грунтов нет другого равноценного постулата для условий плоской задачи, сочетающего простоту, ясность физического смысла и удовлетворительное соответствие данным наблюдений и научных исследований.

Пространственная задача. Перейдём к рассмотрению условий прочности при пространственном (трёхмерном) напряжённом состоянии, определяемом главными напряжениями , , (или ) и изображаемом графически в виде точки М на рис. 12, а. При анализе трёхмерного напряжённого состояния используются следующие приёмы.

1. Разложение тензора напряжений на гидростатическую (шаровой тензор) и девиаторную части. Под тензором напряжений в точке понимается совокупность напряжений, действующих на трёх взаимно перпендикулярных площадках (рис. 12, б). Матричная запись тензора напряжений имеет вид:

или . (1.10)

Гидростатическая часть напряжённого состояния включает три пары равных напряжений:

. (1.11)

Напряжения не меняют своей величины при повороте осей, т. е. являются равными (и одновременно главными) на всех площадках, проходящих через точку М.

Матричная запись шарового тензора имеет вид:

. (1.12)

а)	б)
в)	Рис. 12. Пространство главных напряжений , , и графическая форма условия прочности Мизеса-Шлейхера-Боткина (а); компоненты напряжений в условиях пространственной задачи (б); октаэдрическая площадка (в)

Девиаторная часть включает касательные напряжения и разности между нормальными напряжениями и их средним значением . Матричная запись девиатора напряжений имеет вид:

. (1.13)

Девиаторное напряжённое состояние характерно тем, что его сумма главных напряжений равна нулю.