2.3.3. О решении системы уравнений
Следующим этапом расчёта, который программа выполняет без участия пользователя, является решение глобальной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для задач расчёта строительных объектов средней технической сложности число уравнений глобальной системы находится в пределах от менее ста до десятков тысяч.
Методы решения на ЭВМ систем уравнений высоких порядков является специальной областью математики. В вычислительных комплексах, реализующих МКЭ, преимущественно используются методы решения СЛАУ Гаусса и А.-Л. Холецкого или более сложные алгоритмы, основанные на модификациях идей этих методов.
Пользователю программного обеспечения МКЭ полезно учитывать следующие особенности глобальных матриц, влияющие на точность результатов, объём вычислений и режим работы ЭВМ.
1. Матрица глобальной системы уравнений имеет ленточную структуру (рис. 33). Это означает, что отличные от нуля элементы матрицы находятся только в пределах заштрихованной полосы («ленты»). Внутри «ленты» также имеются нули. Уменьшение ширины т «ленты» способствует минимизации вычислений.
Есть формула, по которой определяется ширина ленты:
т=(R+1)Q,
где R – наибольшая разность между номерами узлов отдельного КЭ, Q – число степеней свободы в узле.
Поэтому лучшая нумерации та, при которой разность номеров одного КЭ минимальна. Знание этого положения полезно авторам расчётов, несмотря на то что в современных программных комплексах нумерация узлов чаще всего выполняется автоматически.
|
Рис. 33. Матрица симметричной ленточной структуры
|
2. При решении систем линейных уравнений арифметические операции производятся с использованием логарифмов с 16-разрядной мантиссой. Это позволяет добиться необходимой точности решения, несмотря на накопления ошибок при округлениях.
2.3.4. Завершающие процедуры статического расчёта
Выше была рассмотрена центральная часть расчёта МКЭ – формирование и решение системы линейных уравнений, результатом чего является определение вектора перемещений всех свободных от закреплений узлов. При расчёте континуальных (плоских, пространственных, в том числе осесимметричных) систем это линейные перемещения x1,2,3k по направлениям осей координат, а при расчёте стержневых, комбинированных, плитных систем определяются также угловые перемещения.
Статический расчёт стержневой системы завершает преобразование осевых перемещений в перемещения в местных системах координат, определение усилий F1–6 на концах стержней, используя для этого соотношения матриц жёсткости КЭ (2.4), и последующее построение эпюр M, Q, N.
Процедура расчёта МКЭ допускает приложение «местной нагрузки», т. е. сил, действующих в пределах длины стержней. В этом случае (как и в методе перемещений) в процессе решения задачи на ЭВМ выполняется дополнительный этап расчёта. Определяют усилия в стержнях от местной нагрузки, принимая закрепления концов неподвижными. Полученные при этом усилия в узлах складываются с узловыми силами. Результаты расчётов на «местную» (внеузловую) и «общую» (приложенную в узлах) нагрузки суммируются.
Статический расчёт континуальной (плоской, пространственной, в том числе осесимметричной) системы, а также континуальных КЭ в комбинированной системе продолжает определение деформаций и компонентов напряжений в КЭ при помощи соотношений {ε}=[B]{U} и {σ}=[D]{ε}=[D][B]{U}. В конечных элементах без внутренних узлов чаще всего бывает достаточно определить компоненты напряжений в их центрах. При необходимости (по заданию пользователя) программа вычисляет напряжения или относительные деформации в узловых точках.