- •Нелинейная механика грунтов
- •Дисперсные грунты крупнообломочные грунты
- •Физические характеристики грунтов
- •1.2. Формы расчётных областей, системы координат, правила знаков
- •1.3. Условия предельного напряженного состояния грунтов
- •Матрицы (1.10), (1.12), (1.13) связаны равенством
- •1.4. Зависимость между перемещениями, напряжениями и деформациями
- •1.5. Расчётные модели геотехнических систем
- •1.5.1. Упрощённые модели
- •Дифференциальные уравнения равновесия. Принцип Лагранжа, равновесие узлов системы мкэ Равновесие тела обрушения и его частей (отсеков). Предельное напряженное состояние в точке
- •Жёстко-пластическая среда
- •Задача Фламана Задача Буссинеска
- •Начальная критическая нагрузка на основание Метод горизонтальных сил г.М. Шахунянца
- •Метод угловых точек
- •1.5.2. Нелинейные модели грунта
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •2. Метод конечных элементов в механике грунтов
- •2.1. Теоретические основы мкэ. Идеи, постулаты
- •2.2. Матрицы жёсткости конечных элементов
- •2.2.1. Общие положения
- •2.2.2. Матрица жёсткости стержневого кэ
- •2.2.3. Функции перемещений континуальных конечных элементов
- •2.2.4. Построение матриц жёсткости континуальных кэ
- •1…16 – Номера степеней свободы
- •2.3. Глобальная матрица жёсткости системы
- •2.3.1. Общая и местная системы координат
- •2.3.2. Формирование систем уравнений
- •2.3.3. О решении системы уравнений
- •2.3.4. Завершающие процедуры статического расчёта
- •2.4. Специальные конечные элементы
- •2.5. Решения физически нелинейных задач средствами мкэ
- •2.6. Заключительные замечания. Ключевые положения мкэ
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •Равновесие узлов системы мкэ. Принцип Лагранжа
- •Уравнение
- •Мора - Кулона
- •Закон Кулона (для заданных поверхностей сдвига)
- •Уравнение Мизеса -
- •Шлейхера - Боткина
- •Закон Гука
- •Смешанная (упругопластическая) задача теорий упругости и пластичности
- •Плоская деформация Пространственная и осесимметричная задача
- •3.2. Программное обеспечение. Критерии предельных состояний
- •3.3. Примеры решения научно-технических задач1
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •Заключительные замечания
- •Библиографический список
- •Сведения из алгебры матриц
- •Понятия, определения
- •Действия с матрицами
- •Давид Моисеевич Шапиро нелинейная механика грунтов
- •3 94006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
2.6. Заключительные замечания. Ключевые положения мкэ
В настоящей разделе изложено описание линейной версии МКЭ на основе уравнений, постулатов и понятийного аппарата строительной механики и теории упругости. Обобщением основных идей, математических процедур, приёмов их алгоритмизации являются следующие ключевые положения МКЭ.
1. Конечный элемент – «область тела в совокупности с заданными в ней аппроксимирующими функциями» [11] перемещений.
Разделение сплошной среды на конечные элементы (КЭ) не сопровождается разрывами на контактах. Задача решается так, что условие неразрывности выполняется не только в узлах, но и на границах КЭ. Это положение не относится к полям относительных деформаций и напряжений, разрывы (скачкообразные изменения) которых на границах КЭ не только возможны, но в большинстве случаев неизбежны.
Одним из показателей качества численного решения является абсолютная или относительная величина этих разрывов. Чем она меньше, тем выше качество решения.
2. Основными принципами, определяющими уравнениями, на которых основано решение задач теории упругости средствами МКЭ, являются следующие положения: 1) условия равновесия узлов конечно-элементной системы; 2) закон Гука; 3) геометрические соотношения Коши, выражающие непрерывность и относительную малость перемещений; 4) описание перемещений в континуальных КЭ при помощи некоторых функций, из которых чаще всего используются степенные полиномы; 5) вариационный принцип минимума для перемещений Лагранжа.
3. В качестве основного способа решения задач МКЭ используется метод перемещений:
– канонические уравнения выражают равновесие узлов;
– неизвестными канонических уравнений являются перемещения узлов.
4. При расчёте систем, состоящих из плоских и пространственных (трёхмерных) конечных элементов, все силы должны быть приложены в узлах.
5. Каждый член матрицы жёсткости КЭ Kij выражает реакцию (узловую силу) в закреплении по направлению i-й степени свободы (считая это закрепление неподвижным) на единичное перемещение Uj по направлению j-й степени свободы.
6. При расчётах стержневых и континуальных систем каждый КЭ находится в глобальной и местной системах координат.
Нумерация узлов в местной системе является общепринятой и используется по умолчанию для каждого типа КЭ. Первый узел помещается в начало координат местной системы. Примеры нумерации других узлов: в стержневом КЭ второй узел совпадает с концом стержня; в треугольном КЭ узлы номеруются последовательно против часовой стрелки, в прямоугольном КЭ сначала номеруются нижние два узла слева направо, затем верхние два узла слева направо.
Контрольные вопросы для самопроверки
1. Опишите наиболее известные формы конечных элементов.
2. Охарактеризуйте степени свободы узлов конечных элементов:
– стержневых плоских и пространственных;
– плоских треугольных и прямоугольных;
– осесимметричных;
– тетраэдров и параллелепипедов.
3. Назовите компоненты напряжений в плоских, пространственных и осесимметричных конечных элементах.
4. Дайте определение коэффициента в составе матрицы жёсткости конечного элемента.
5. Опишите матрицу жёсткости стержневого конечного элемента с тремя степенями свободы в узле.
6. Объясните понятия о континууме, континуальных конечных элементах, функциях перемещений.
7. Объясните построение матриц жёсткости треугольного и прямоугольного плоских конечных элементов.
8. Что представляют собой общая и глобальная системы координат и какова их роль в схеме решения задач МКЭ?
9. Опишите формирование глобальной системы уравнений на примере фрагмента расчётной области, состоящей из прямоугольных и стержневых плоских конечных элементов.
10. Охарактеризуйте конечные элементы, моделирующие связи конечной жёсткости.
3. СМЕШАННАЯ (УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ) ЗАДАЧА
ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ.
НЕЛИНЕЙНЫЙ РАСЧЁТ ГЕОТЕХНИЧЕСКИХ
ОБЪЕКТОВ
3.1. Упругопластическая задача для грунтов
(постановка и решение)
Модель грунта. В условиях современного проектирования наиболее эффективной и востребованной является рассматриваемая ниже упругопластическая модель грунта, сочетающая использование четырёх групп уравнений:
1) закона Гука (для допредельной стадии деформирования); 2) соотношений Коши; 3) условий текучести (предельного напряжённого состояния) в соответствии уравнениями Мора-Кулона или Мизеса-Шлейхера-Боткина; 4) кинематических соотношений теории пластического течения.