1.3. Простейшие теоремы статики

Теорема о переносе силы вдоль линии действия: Действие силы на твердое тело не изменится от переноса

Теорема о трех силах: если твердое тело под действием трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то линии действия таких трех сил пересекаются в одной точке. Обратная теорема неверна, т.е. если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то такая система сил не обязательно является равновесной.

Системой сходящихся сил (или пучком сил) называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке – центре пучка. Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

Таким образом, система сходящихся сил эквивалентна одной силе , которая и является равнодействующей этой системы сил.

. (9)

Проецируя векторы векторного равенства на прямоугольные оси координат, получим:

; ; . (10)

По проекциям определяем модуль равнодействующей силы и косинусы углов ее с осями координат по формулам

;(11)

, , ; (12)

Теорема о моменте равнодействующей силы (теорема Вариньона): векторный момент равнодействующей рассматриваемой системы сил относительно любой точки равен сумме векторных моментов всех сил этой системы относительно той же точки:

. (13)

Теорема Вариньона относительно оси : момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов сил системы относительно той же оси.

, (14)

Для случая плоской системы сил, если точку выбрать в плоскости действия сил, получаем теорему Вариньона для плоской системы сил: алгебраический момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, равен сумме алгебраических моментов всех сил этой системы относительно той же точки.

. (15)

1.4. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия

Лемма о параллельном переносе сил: силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку твердого тела, добавляя при этом пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно новой точки приложения силы.

Этот процесс замены силы силой и парой сил называют приведением силы к заданному центру.

Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил (теорема Пуансо): любую произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру:

~ ,

Величина

(16)

называется главным вектором системы сил – это вектор, равный векторной сумме этих сил.

Вектор

. (17)

называется главным моментом системы сил относительно центра , он равен сумме векторных моментов всех сил системы относительно центра :

Равновесие пар сил

Если на твердое тело действуют пары сил, как угодно расположенные в пространстве, то эти пары сил можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил:

.

Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил был равен нулю. Таким образом, для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций векторных моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю:

Отсюда:

(18)

В том случае, когда пары сил действуют на твердое тело, находясь в одной плоскости, их можно заменить одной эквивалентной парой сил, алгебраический момент которой равен сумме алгебраических моментов составляющих пар сил:

.

Для равновесия таких пар сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраический момент эквивалентной им пары сил был равен нулю, т.е. для равновесия пар сил, действующих на твердое тело в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических моментов этих пар сил была равна нулю.