- •Введение
- •1. Статика
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.1.1. Момент силы Алгебраический момент силы относительно точки
- •Векторный момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •1.1.2. Пара сил Пара сил и алгебраический момент пары сил
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Простейшие теоремы статики
- •1.4. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
- •Равновесие пар сил
- •Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме
- •Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме
- •Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил
- •Условия равновесия пространственной системы параллельных сил
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •1.5. Центр тяжести твердого тела Центр параллельных сил
- •Способы нахождения центра тяжести
- •1.6. Распределенные силы
- •1.7. Трение Трение скольжения
- •Трение качения
- •1.8. Решение задач статики
- •2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.1.1. Скорость и ускорение точки
- •2 .1.2. Векторный способ задания движения точки
- •2.1.3. Координатный способ задания движения точки
- •2.1.4. Естественный способ задания движения точки
- •Частные случаи движения точки
- •2.2. Кинематика твердого тела
- •2.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •2.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной оси
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.3. Сложное движение точки
- •Ускорение Кориолиса
- •2.4. Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела
- •2.4.1. Скорости точек плоской фигуры
- •2.4.2. Мгновенный центр скоростей
- •2.4.3. Ускорения точек плоской фигуры
- •2.4.4. Мгновенный центр ускорений
- •2.5. Решение задач кинематики
- •3. Динамика
- •3.1. Аксиомы динамики
- •3.2. Динамика материальной точки
- •3.2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •3.2.2. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •3.2.3. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •3.3. Геометрия масс
- •3.3.1. Центр масс
- •3.3.2. Моменты инерции Моменты инерции относительно точки и оси
- •М оменты инерции относительно осей координат
- •3.3.3. Теорема Штейнера
- •3.3.4. Моменты инерции однородных тел
- •3.4. Теоремы динамики
- •3.4.1. Теорема о движении центра масс
- •3.4.2. Теорема об изменении количества движения Количество движения точки и системы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •3.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •3.5. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •3.6. Элементы аналитической механики
- •3.6.1. Классификация механических связей
- •3.6.2. Возможные перемещения
- •3.6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •3.6.4. Принцип возможных перемещений
- •3.6.5. Обобщенные координаты системы
- •3.6.6. Обобщенные силы
- •Вычисление обобщенной силы
- •Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил
- •3.6.7. Общее уравнение динамики
- •3.6.8. Уравнения Лагранжа второго рода
- •3.7. Решение задач динамики
- •Контрольные Вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Контрольные вопросы…….………………………………….. 151 Заключение……………………………………………………. 154 Библиографический список………………………………….. 155
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.3.4. Моменты инерции однородных тел
Однородный стержень
Имеем однородный стержень длиной и массой . Направим по стержню ось . Вычислим момент инерции стержня относительно оси , проходящей перпендикулярно стержню через его конец:
. (146)
Момент инерции стержня относительно оси , проходящей через центр масс и параллельной оси , определяется по теореме Штейнера:
. (147)
Прямоугольная пластина
Прямоугольная тонкая пластина имеет размеры и и массу . Выберем точку на середине стороны длиной . Оси и расположим в плоскости пластины, параллельно сторонам длиной и соответственно, а ось направим перпендикулярно плоскости.
Моменты инерции пластины относительно осей координат равны:
, , . (148)
Сплошной диск
Имеем тонкий однородный диск радиусом и массой . Оси координат и расположены в плоскости диска. Момент его инерции относительно центра диска совпадает с моментом инерции относительно координатной оси , перпендикулярной плоскости диска.
, . (149)
Тонкое кольцо (круглое колесо)
Имеем тонкое кольцо радиусом и массой , распределенной по его ободу. Оси координат и расположим в плоскости кольца. Момент инерции относительно его центра совпадает с моментом инерции относительно координатной оси , перпендикулярной плоскости кольца.
, . (150)
Круглый цилиндр
Для круглого однородного цилиндра, масса которого , радиус и длина , его моменты инерции относительно продольной оси симметрии и относительно его поперечной оси симметрии равны:
, . (151)
Шар
Пусть масса шара , радиус . Моменты инерции шара относительно осей координат и центра шара равны:
. (152)
3.4. Теоремы динамики
Внешними силами механической системы называются силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, не входящие в рассматриваемую систему.
Внутренними силами механической системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы.
Внешнюю силу, приложенную к какой-либо точке системы, обозначим , а внутреннюю – . Внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и силы реакций связей.
Главный вектор всех внутренних сил системы и главный момент этих сил относительно произвольной точки равны нулю при любом состоянии системы, т. е. при ее равновесии и при произвольном движении.
, . (153)
Если рассмотреть какие-либо две произвольные точки системы, например и , то для них , так как силы действия и противодействия всегда равны друг другу по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой линии, соединяющей взаимодействующие точки. Главный вектор внутренних сил состоит из векторной суммы таких сил действия и противодействия, так как вся система состоит из пар взаимодействующих точек. Следовательно, он равен нулю. Так как обе силы имеют одинаковые плечи и противоположные направления векторных моментов, их главный вектор равен нулю. Главный момент внутренних сил состоит из векторной суммы таких выражений, равных нулю.
Пусть даны внешние и внутренние силы, действующие на систему, состоящую из точек. Если к каждой точке системы приложить равнодействующую силу внешних сил и равнодействующую силу всех внутренних сил то для любой -й точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения, например, в векторной форме, т. е.
, ( ). (154)
Систему дифференциальных уравнений (154) называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроецировать векторные дифференциальные уравнения (154) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим систему дифференциальных уравнений, описывающих движение точек механической системы.