Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения

При поступательном движении. Если твердое тело движется поступательно, то ускорения его точек одинаковы. Силы инерции этих точек составляют систему параллельных сил, направленных в одну сторону. Такая система сил приводится к равнодействующей силе , которая равна главному вектору, т. е.

.

Линия действия равнодействующей силы инерции в этом случае проходит через центр масс, так как главный момент сил инерции точек тела относительно центра масс

.

Действительно, согласно следствию из принципа Даламбера (12) для центра масс, имеем

.

При поступательном движении тело не совершает вращения вокруг центра масс и поэтому . Следовательно,

При вращении вокруг неподвижной оси. Если выбрать за центр приведения сил инерции точку на оси вращения , то в этой точке получим главный вектор и главный момент сил инерции:

, .

Если центр масс находится на оси вращения, то . Проекции главного момента сил инерции на неподвижные оси координат в общем случае можно вычислить по формулам

, , .

(Моменты сил инерции и , если ось является главной осью инерции для точки .)

При плоском движении. Выбрав за центр приведения сил инерции центр масс, получим в этой точке главный вектор и главный момент сил инерции. Для главного вектора сил инерции имеем

.

Для данного момента сил инерции относительно центра масс , который является движущейся точкой при плоском движении тела, получим формулы, аналогичные формуле (149), выведенной для неподвижной точки .

Согласно следствию из принципа Даламбера (147), главный момент сил инерции относительно центра масс удовлетворяет условию

.

С другой стороны, из теорем об изменении кинетического момента относительно центра масс для абсолютного и относительного движений имеем

, .

Из этих соотношений следует

.

Проекции главного момента на оси координат с началом в центре масс и движущиеся поступательно вместе с центром масс соответственно

, , ,

где ось перпендикулярна плоскости, параллельно которой совершают движение точки тела.

Моменты сил инерции и вычисляются так же, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси. Они равны пулю, если ось является главной осью инерции для точки . Это, в частности выполняется, если тело имеет плоскость симметрии, проходящую через центр масс и параллельную плоскости движения тела.

3.6. Элементы аналитической механики

3.6.1. Классификация механических связей

В аналитической механике необходимо более подробно рассмотреть связи, налагаемые на точки механической системы. Механической системой, как известно, называют любую совокупность материальных точек. Условия, ограничивающие свободу перемещения точек механической системы, называются связями. Математически связи могут быть выражены уравнениями или неравенствами, в которые входят время, координаты всех или части точек системы и их производные но времени различных порядков. Для одной точки уравнение связи в общем случае можно выразить в форме

. (217)

В дальнейшем ограничимся рассмотрением связей, в уравнения которых могут входить производные по времени от координат не выше первого порядка.

Для механической системы, состоящей из точек, уравнений связей представятся системой уравнений

, . (218)

Считается, что индекс принимает все или часть значений от 1 до как для координат, так и для их производных.

Если в уравнения связей (218) входят только координаты точек и не входят производные от координат, то связи называются геометрическими.

Если в уравнения связей кроме координат входят еще и их производные по времени (проекции скоростей точек на оси координат) или только одни производные, кроме времени, то связи называются кинематическими.

Все геометрические и интегрируемые кинематические связи называются голономными. Неинтегрируемые кинематические связи, которые нельзя свести к геометрическим, являются неголономными.

Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными или склерономными. Если время входит явно в уравнение связи, то связь называется нестационарной и реономной.

Связи называют неосвобождающими или двусторонними, если они выражаются математически уравнениями, и освобождающими или односторонними, если они выражаются неравенствами.

Все связи можно разделить на реальные и идеальные. К идеальным связям относятся все связи без трения. Некоторые связи с трением тоже относятся к идеальным. Понятие идеальных связей дается после введения понятия возможного перемещения системы.