Частные случаи вращения твердого тела

Вращение называется равномерным, если . Алгебраическая угловая скорость отличается от модуля угловой скорости только знаком. Поэтому она тоже постоянна и при интегрировании ее можно вынести за знак интеграла. Имеем

, , , ,

если принять при .

Вращение будет равнопеременным, если . Алгебраическое угловое ускорение при этом тоже постоянно. Его при интегрировании можно вынести за знак интеграла. Имеем

, , , ,

если при .

Так как

, ,

то , ,

если при .

В общем случае, если не постоянно,

, .

Скорости и ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной оси

Известно уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (рис. 29). Расстояние точки в подвижной плоскости по дуге окружности (траектории точки), отсчитываемое от точки , расположенной в неподвижной плоскости, выражается через угол зависимостью , где – радиус окружности, по которой п еремещается точка. Он является кратчайшим расстоянием от точки до оси вращения. Его иногда называют радиусом вращения точки. У каждой точки тела радиус вращения остается неизменным при вращении тела вокруг неподвижной оси.

А

Рис. 29

лгебраическую скорость точки определяем по формуле

Модуль скорости точки

. (70)

Скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной оси пропорциональны их кратчайшим расстояниям до этой оси. Коэффициентом пропорциональности является угловая скорость. Скорости точек направлены по касательным к траекториям и, следовательно, перпендикулярны радиусам вращения.

Скорости точек тела, расположенных на отрезке прямой , в соответствии с (70) распределены по линейному закону. Они взаимно параллельны, и их концы располагаются на одной прямой, проходящей через ось вращения Ускорение точки разлагаем на касательную и нормальную составляющие, т. е.

.

Касательное и нормальное ускорения вычисляются по формулам:

, ,

так как для окружности радиус кривизны (рис. 30). Таким образом,

, ,

. (71)

К

Рис. 30

асательные, нормальные и полные ускорения точек, как и скорости, распределены тоже по линейному закону. Они линейно зависят от расстояний точек до оси вращения. Нормальное ускорение направлено по радиусу окружности к оси вращения. Направление касательного ускорения зависит от знака алгебраического углового ускорения. При и или и имеем ускоренное вращение тела и направления векторов и совпадают. Если и имеют разные знаки (замедленное вращение), то и направлены противоположно друг другу.

Обозначив угол между полным ускорением точки и ее радиусом вращения, имеем

, (72)

так как нормальное ускорение всегда положительно. Угол для всех точек тела один и тот же. Откладывать его следует от ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления вращения твердого тела.

Векторы угловой скорости и углового ускорения

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела. Если – единичный вектор оси вращения, направленный в ее положительную сторону, то векторы угловой скорости и углового ускорения определяют выражениями:

, . (73)

Так как – постоянный по модулю и направлению вектор, то из (63) следует, что

. (74)

П

Рис. 31

а)

б)

ри и направления векторов и совпадают. Они оба направлены в положительную сторону оси вращения Оz (рис. 31, а). Если и , то они направлены в противоположные стороны (рис. 32, б). Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположен ему при замедленном. Векторы и можно изображать в любых точках оси вращения.