3. Динамика

3.1. Аксиомы динамики

I. Первая аксиома (законом классической механики, закон инерции): материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета. Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, называется изолированной материальной точкой.

Равномерное и прямолинейное движение точки называют движением по инерции. Частным случаем движения по инерции является покой точки, при котором скорость ее равна нулю.

Рис. 47

I. Вторая аксиома (основной закон динамики): ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе (рис. 47). Если

есть приложенная к точке сила и – ее ускорение относительно инерциальной системы отсчета , то основной закон можно выразить в форме

. (124)

Положительный коэффициент пропорциональности , характеризующий инертные свойства материальной точки, называется инертной массой точки. Инертная масса в классической механике считается величиной постоянной, зависящей только от самой материальной точки и не зависящей от характеристик ее движения, т.е. скорости и ускорения. Масса также не зависит от природы силы, приложенной к точке. Она одна и та же для сил тяготения, сил упругости, электромагнитных сил, сил трения и других сил.

III. Третья аксиома (закон о равенстве сил действия и противодействия), сформулирована в статике.

IV. Четвертая аксиома (закон независимого действия сил, закон суперпозиции сил): при одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других приложенных к точке сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил. Между силами нет взаимного влияния друг на друга в создании ускорения точки. Если к материальной точке приложена система сил то, согласно этой аксиоме, ускорение от действия каждой из этих сил определяется по (1):

, , , . (125)

Ускорение при одновременном действии всех сил является векторной суммой ускорений, созданных отдельными силами, т. е

. (126)

Суммируя (125) и используя (126), получаем основное уравнение динамики точки:

. (127)

3.2. Динамика материальной точки

3.2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Используя основной закон динамики, можно получить дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.

Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей , а массу точки , получаем

. (128)

И з кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 48):

Рис. 48

ифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

. (129)

Если спроецировать обе части уравнений (128) или (129) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.

В декартовой системе координат в общем случае

, , .