4.5. Определение величины сопротивления деформированию с учетом деформационного и скоростного упрочнения.

Рассматривается задача по осадке цилиндра. При расчете используется аппроксимация кривой упрочнения в виде

Д ано:

Рис. 4.7

4.5.1. Алгоритм решения задачи

Последовательность решения задачи можно представить:

1. На первом этапе, предполагая независимость геометрии процесса от изменения механических свойств материала и, полагая последний неупрочняемым, определим усилие деформирования (см. рис. 4.7).

(4.73)

2. Находим объем, охваченный пластической деформацией для принятой расчетной модели (здесь полагаем, что вся поковка пластически деформируется)

(4.74)

С учетом постоянства объема имеем

(4.75)

3. Определяем значение среднеинтегральной величины интенсивности скорости деформации .

; (4.76)

4. Находим величину среднеинтегральной интенсивности конечной деформации .

(4.77)

Производя замену переменной , получаем:

(4.78)

С учетом постоянства объема и равенства (4.74)

(4.79)

Производя интегрирование и преобразование, получим

(4.80)

5. Подставляя полученные выражения и в формулу (4.33) получим значение с учетом деформационного и скоростного упрочнения.

6. Пользуясь скорректированным значением подсчитываются энергосиловые параметры процесса.

Однако не всегда удается в конечном виде проинтегрировать соответствующие выражения для е_i0. В подобных случаях прибегают к следующим упрощениям:

- величины, характеризующие геометрию очага деформации, (в нашем случае это d/h) в подинтегральном выражении на данном отрезке интегрирования (от до ) считают величиной постоянной и равной некоторой величине между и .

-для более грубой оценки можно принять, что

(4.81)

где обычно

Естественно, что рассмотренные упрощения будут давать тем более точные результаты , чем более мелкие отрезки деформирования мы будем применять в расчетах.

5. Метод конечных элементов в обработке

МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

5.1. O методе конечных элементов

Метод конечных элементов. Характерной особенностью метода конечных элементов, относящегося к так называемым прямым методам, является то, что процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле (таких как перемещения, напряжения, силы) строятся на основе вариационных принципов механики упругого тела без непосредственного использования дифференциальных уравнений. Заметим, что в настоящее время МКЭ является самым эффективным прямым методом приближенного решения прикладных задач механики.

Конечные элементы (КЭ) в плоском случае могут быть треугольными, четырехугольными, фигурами более сложной формы, например многоугольниками с криволинейными сторонами.

Пробная функция в каждом КЭ определяется по значениям в определённых точках КЭ, называемых узлами. Узловые значения решения либо определяются граничными условиями, либо являются варьируемыми параметрами. Иногда можно также варьировать разбиением области.

Исходная вариационная задача сводится, следовательно, к задаче минимизации функции конечного числа переменных.

Здесь применяется следующая схема МКЭ:

1. пластическая зона разбивается на треугольные конечные элементы;

2. решение задачи в i-ом КЭ ищется в виде полинома первой степени от (x, y) – декартовых координат плоскости т.е. в виде

_{i (x,y)}=a_ix+b_iy+c_i (5.1)

3) коэффициенты a_i, b_i, c_i , по значениям _i(х,у) в узлах. Узлами являются вершины i-го треугольника.

Таким образом, решением задачи методом конечных элементов будет выбор функций вида (5.1), аппроксимирующей решение в каждой подобласти.

Так как значения в общих узлах двух соседних элементов берутся одними и теми же, то полученная кусочно-полиномиальная функция будет непрерывной.

При расчете методом конечных элементов предполагается, что граничные условия не изменяются в процессе нагружения ни по величине, ни по направлению, а жесткость не зависит от деформаций.

На первом этапе расчета выполняется дискретизация объема, занимаемого телом, на элементарные области: для объемного тела – на тетраэдры с гранями, аппроксимируемыми линейными или параболическими функциями координат; для поверхностных моделей – плоскими и криволинейными треугольниками.

Эти области именуются конечными элементами (КЭ). Помимо этого при подготовке конечно-элементной модели могут использоваться следующие типы элементов (см. табл.1).

При этом каждый из типов КЭ может реализовываться по-разному: так, объемные КЭ, как правило, встречаются в виде тетраэдров и шестигранников, оболочечные бывают треугольными и четырехсторонними, плоскими и криволинейными и т.д. Но общим остается одно: расчет может существовать только тогда, когда КЭ сетка построена.

Таблица 5.1.

Типы конечных элементов

№	Описание
1	Плоский треугольный элемент
2	Плоский изопараметрический четырехугольник
3	Осесимметричный треугольный элемент
4	Пластинчатый треугольный элемент
5	Пластинчатый прямоугольный элемент
6	Объемный элемент

Построение КЭ сетки называется дискретизацией. В вершинах (для линейных КЭ), а также около середин сторон (для параболических) располагаются узлы. В узлах задаются либо вычисляются перемещения или усилия. Для пространственных КЭ степенями свободы являются перемещения в направлении осей некоторой системы координат – будем предполагать, что она общая для всех узлов в теле. Для конечных элементов оболочек к трем перемещениям добавляются по три угла поворота нормали к срединной поверхности в каждом узле относительно тех же осей.

В пределах каждого элемента перемещение аппроксимируются линейной (элемент первого порядка) или параболической (элемент второго порядка) функциями. Этими же функциями для изопараметрических элементов аппроксимируются и форма конечных элементов.

Уже сама идеализация, приводящая исходную конструкцию к совокупности конечных элементов, связанных между собой лишь в узловых точках требует, чтобы напряженное состояние в каждом из конечных элементов однозначно определялось через значения узловых перемещений . Связь между конечными элементами вызывает в узловых точках реактивные усилия взаимодействия . Каждый из конечных элементов оказывается нагруженным этими усилиями. Между узловыми усилиями и узловыми перемещениями существует определенная связь:

, (5.2)

где , - векторы-столбцы узловых усилий и перемещений;

- матрица жесткости, определяющая упругие свойства рассматриваемого элемента.

В результате наложения граничных условий (кинематических – перемещений, статических – усилий) тело деформируется. Если нагрузки распределенные, то они должны приводится к сосредоточенным.

Во избежание перемещения системы как абсолютно жесткого тела необходимо ввести определенное число кинематических закреплений в отдельных ее узлах. В общем случае число таких закреплений, которые позволяют исключить поступательное и вращательное движение как жесткого тела, равно шести. Напряжения определяются по формуле (), которая с учетом () перепишется в виде:

(5.3)

где - матрица напряжений, зависящая от координат рассматриваемой точки и упругих характеристик материала. В формулы для расчета компонентов матрицы жесткости конечных элементов входят модули упругости и коэффициенты Пуассона материалов.

Для каждого конечного элемента вычисляется матрица жесткости. Произведение матрицы жесткости на столбец перемещений в узлах элемента дает столбец усилий в узлах. Матрица жесткости полностью определяет жесткостные свойства рассматриваемого конечного элемента. Имея матрицы жесткости для отдельных элементов, можно получить общую или глобальную матрицу жесткости рассматриваемой

области следующим образом:

(5.4)

где - матрица связи номеров степеней свободы при общей (для всей области) и местной (для данного i-го элемента) системах координат;

- матрица жесткости i-го элемента.

Матрица квадратная, порядок ее равен NxN, где N – количество неизвестных перемещений системы.

Глобальная матрица жесткости - «разреженная», т.е. имеет подавляющее количество заведомо нулевых элементов, большинство которых в процессе решения остаются нулевыми. В связи с этой и рядом других особенностей подобной матрицы для обработки ее используются специальные методы.

Система уравнений решается с вычислением столбца перемещений {q}. Полученное решение соответствует минимуму потенциальной энергии деформированной упругой системы.

Для каждого конечного элемента при наличии перемещений (углов поворота) в узлах и аппроксимирующей функции рассчитываются деформации. Если элементы линейные, то деформации в пределах элементов постоянные; если элементы параболические, деформации изменяются линейно. На основе деформаций вычисляются напряжения в элементах. При необходимости напряжения в узлах сложных элементов усредняются с последующим пересчетом напряжений в пределах каждого элемента.