5.3.1 Расчет энерговыделения на линиях разрыва
скорости с использованием функции тока
Формула для расчёта мощности пластической деформации , записанная в виде (5.7), непригодна для непосредственных практических расчётов, т.к. неизвестна величина скорости Vi-j на линии разрыва li-j. В работах [14,16] показан способ построения поля скоростей по заданным функциям тока.
Рассмотрим два произвольно выбранных соседних элемента (рис 5.39).
Р
ис.
5.39.
Пусть в треугольнике m с вершинами i-j-k функция тока аппроксимируется уравнением m (x,y)=a mx +b my+c m , а в треугольнике n (i-t-j) n (x,y)=a nx + bny+cn.
По формулам работы [14] найдём составляющие вектора скорости в m и n
Vm={bm , - am} Vn={bn , -an }. Вследствие пластической деформации между элементами n и m имеет место разрыв скорости, равный V
Vi-j = Vn – Vm= { bn - bm, am – an} (5.11)
Вектор скорости Vi-j параллелен стороне li-j.В противном случае вдоль этой скорости нарушилось бы условие сплошности среды. Если стороне li-j задать направление, тем самым превратив отрезок li-j в вектор li-j ={xj-xi , yj-yi} , то произведение | Vi-j li-j | можно представить в виде скалярного произведения двух векторов
___ __
| Vi-j li-j | = | Vi-j· li-j | (5.12)
Напомним, что скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла α между ними. В данном случае векторы Vi-j и li-j параллельны, т.е. cos α =0.
С другой стороны, формула скалярного произведения двух векторов U={Ux,Uy} и W={Wx,Wy} имеет вид
U·W=UxWx+UyWy (5.13)
Отсюда, используя (5.8), получим
| Vi-j li-j |=( bn - bm )( xj-xi)+( am – an)( yj-yi) (5.14)
Где xi, yi; xj, yj – координаты вершин i и j линии разрыва скорости li-j.
Таким образом, для определения мощности рассеяния энергии пластической деформации на линии разрыва li-j необходимо кроме координат X и Y концов отрезка li-j знать уравнения функций тока в треугольнике, примыкающих к стороне li-j.
5.4. Определение функций тока на элементе
В работе [14] приводится методика определения функции тока на элементе.
Рассмотрим произвольный треугольник с вершинами i,j,k в точках (xi, yi), (xj, yj), ( xk, yk) (см. рис. 5.2.).
Зададим в вершинах этого треугольника значения функции тока Фi,Фj,Фk
Полином (5.40), определяющий функцию тока, имеет в узлах следующие значения
= Фi при х=хi, у=уi
= Фj при х=хj, у=уj
= Фk при х=хk, у=уk
Р
ис.
5.40.
Постановка этих условий в формулу (5.1) приводит к
системе уравнеий
axi+byi+c=Фi
axj+byj+c=Фj (5.15)
axk+byk+c=Фk
Отсюда
a=1/2S[(yj-yk) Фi+(yk-yi) Фj+(yi-yj) Фk
(5.16)
b=1/2S[(xj-xk) Фi+(xk-xi) Фj+(xi-xj) Фk
Из формул (5.13) следует, что если значения функции тока в трёх вершинах треугольника Фi=Фj=Фk , то в этом треугольнике a=b=0 , т.е. имеет место застойная зона.
Определитель системы (5.12) связан с площадью треугольника S соотношением
| 1 xi yi |
2Si-j-k= 1 xj yj = xjyk + xi yj + xkyj - yixj - yjxk - xiyk (5.17)
1 xk yk
Отсюда следует, что решение системы (5.12) единственно, если площадь треугольника i-j-k не равна нулю.
Заметим, что обход вершин треугольника i-j-k осуществляется против движения часовой стрелки, тогда площадь, вычисленная по формуле (5.41), будет положительной величиной.
Если на стороне i-j конечного элемента Фi=Фj , а
h – высота, опущенная из вершины k на сторону i-j. то вектор скорости на элементе параллелен стороне i-j , а его модуль определяется по формуле
_
V i-j-k =Фi-Фk/h (5.18)
Рис. 5.41.
1. В треугольнике, лежащем на оси симметрии, линии тока параллельны этой оси.
2. Если две оси симметрии совпадают с катетами треугольника, то в этом треугольнике Vx=Vy=0, т.е, имеет место застойная зона.
Алгоритм решение задачи МКЭ можно представить следующей последовательностью действий:
предполагаемая пластическая область разбивается на систему треугольных элементов;
на основании граничных условий задаются значения функции тока в узлах разбиения. Если значение функции тока в узле невозможно определить из граничных условий задачи, то оно является варьируемым параметром;
по формулам (5.13) вычисляются составляющие скорости во всех треугольниках разбиения, что позволяет построить годограф скоростей;
по формуле (5.11) вычисляется мощность рассеяния энергии на линиях разрыва скорости. Суммируя, найдем мощность пластического деформирования;
по формуле (5.7) находим деформирующее усилие;
если геометрия пластической зоны заранее неизвестна, рекомендуется варьировать координатами узлов линий разрыва скорости, ограничивающих пластическую область.