5.2. Метод конечных элементов первого порядка

Этот метод, предложенный в работе [16], объединяет элементы метода «верхней оценки» и МКЭ. Это позволяет формализовать некоторые процедуры метода «верхней оценки» и часто без применения ЭВМ сделать оценку энергосиловых параметров процессов ОМД.

5.2.1.Понятие о линиях тока. Функции тока.

Свойства функций тока.

Линии, в каждой точке которых, скорость в данный момент, направлена по касательной к ним, называются линиями тока. Они играют важную роль в описании и анализе движения сплошной среды. Аналитически линии тока описываются функциями, называемыми функциями тока.

Рассмотрим плоское пластическое течение.

Функция  (х,у) называется функцией тока, если выполняются соотношения [15]:

Vx=∂/∂y, Vу= - ∂/∂x (5.5)

Здесь Vx, Vy - проекции вектора скорости V оси ОX , OY соответственно. Условия (5.5) определяют функию тока  с точностью до произвольной постоянной.

Свойства функции тока:

а) Уравнение (х,у)=const определяет линию тока. Действительно , вдоль этой кривой по правилу дифференцирования неявной функции х+уу=0, откуда у=х/уVy/Vx. Так как производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной, то направление касательной в каждой точке кривой (х,у)=const совпадает с направлением вектора скорости в этой точке. Иными словами, вдоль линии тока функция тока сохраняет постоянное значение.

б) Поток сплошной среды между точками А и В равен разности значений функции в этих точках.

Из курса механики сплошной среды известно [15], чтo

(5.6)

где П – поток сплошной среды ;АВ - кривая с началом в точке А и концом в точке В;

Vn – проекция вектора скорости на нормаль к кривой.

П=(B)(A) (5.7)

Из соотношений (5.1), определяющих функцию тока, следует, что при аппроксимации (х,у) линейными функциями вида (5.1) компоненты скорости имеют постоянные значения на каждом треугольнике (КЭ). Дифференцируя (5.1) имеем

Vx=∂/∂y=b, Vу=-∂/∂x= -a (5.8)

Tаким образом, пластическая деформация имеет место лишь на линиях разрыва скорости – на сторонах конечных элементов, на которые разбивается пластическая зона.

Ось симметрии полагается нулевой линией тока

(х,у)=0.

Условимся в дальнейшем значения функций тока обозначать буквой Ф с соответствующим точке индексом в отличие от функции тока  _i , определяемой выражением (5.1) на

i-ом КЭ.

5.3. Расчет энерговыделения на линиях разрыва скорости

методом верхней оценки.

Для решения задачи методом верхней оценки (МВО) пластическая область разбивается на треугольные жесткие блоки, строится годограф скоростей, соответствующий данному разбиению, затем вычисляют энерговыделение в пластической зоне по формуле (4.14)

N=ΣN_i-j=kΣ_i-jl_i-jV_i-j (5.9)

Где N_i-j – мощность энерговыделения на линии разрыва касательной составляющей скорости между узлами i-j.

Суммирование производится по всем линиям разрыва скорости, в том числе и по линиям контакта с деформирующим инструментом;

_i-j - показатель трения на линии разрыва скорости. Если линия i-j находится внутри пластической зоны, то _i-j=1, если i-j является линией контакта ,то _i-j может меняться в пределах 0  i-j  1 в зависимости от условий контактного трения;

к – пластическая постоянная, связанная с пределом текучести материала соотношением _т= К ;

V_i-j – величина разрыва касательной составляющей скорости на линии _li-j, которая определяется построением годографа скоростей. Эта операция наиболее трудоёмка в МВО.

l_i-j – длина разрыва скорости i-j.

Зная N – мощность, расходуемую на пластическое деформирование, определим технологическое усилие

P_T=N/V₀ (5.10)

Где V₀ – скорость деформирующего органа. Обычно V₀ принимается равной единице, тогда усилие численно равно мощности пластической деформации N.