6 Решение осесиметричных задач
Постановка задачи. Рассматривается осесимметричная деформация неупрочняющегося жесткопластического тела. Недостатком матричного метода решения осесимметричных задач (МКЭ) являются сложности, связанные с учётом разрыва граничных условий для скоростей при обтекании угловых точек пластической зоны.
В
работе [I7]
предложено преобразование, отображающее
пластическую область r0Z
и плоскость годографа скоростей
на новые плоскости X0Y
и
,
где задача решается как плоская методом
верхней оценки:
;
y=
;
(6.1)
;
,
(6.2)
где
и
=
нормирующие константы.
Простейшее поле скоростей, удовлетворяющее внутри блоков условию несжимаемости в осесимметричном случае имеет вид
;
.
(6.3)
Преобразование,
по формулам (2), переводит поле скоростей
по зависимостям (3), в кусочно-постоянное,
на плоскости
.
Основные зависимости.
Аналогично
тому, как сделано в работе [16], введем
функцию тока
,
обеспечивающую выполнение условия
несжимаемости.
Из уравнений (I), (3) следует, что в преобразованной плоскости на треугольных блоках функция тока с помощью функций формы (3) записывается в виде:
,
(6.4)
,
где Фi- значение функции тока в I –м узле; Smnp- площадь треугольника mnp.
В работе используется правило суммирования по повторяющимся индексам. Параметры a, b, c определяются по формулам вида:
;
;
(6.5)
циклической перестановкой индексов. В настоящей работе малыми буквами обозначены переменные величины, а прописными- их узловые значения.
В треугольнике mnp компоненты вектора скорости определяются выражением
(6.6)
Формула (6) позволяет построить блочное поле скоростей в плоскости X0Y по узловым значениям координат и функций тока.
В плоскости r0z скорости определяются из соотношений (2). В работе [I7] доказано, что при этом сохраняется условие непрерывности нормальной компоненты скорости на границе блоков. Из формул (I) следует, что прямолинейные границы блоков в плоскости х0у отображаются на плоскость r0z в параболические дуги.
Интенсивность скорости сдвиговой информации внутри блока mnp, движущегося со скоростью
равна
,
i=m,n,p.
(6.7)
Внутри произвольного треугольника mnp энерговыделение определяется по формуле
(6.8)
i=m,n,p.
параметры qnp, qpm определяются аналогично.
Согласно работе [I7], энерговыделение на границе треугольников mnp и mnq запишем следующим образом:
(6.9) (9)
где
-
показатель трения на линии разрыва
скорости. Внутри пластической области-
=I,
на границе-
,
в зависимости от условий трения на
контакте.
В случае, когда сторона параллельна оси у,
(6.10)
полное энерговыделение от пластического формоизменения есть сумма энерговыделений внутри элементов и на линиях разрыва скорости, включая линии контакта с деформирующим органом.
Энерговыделение, рассчитанное по формулам (8)-(10), зависит от узловых значений функций тока и координат узловых точек. Часть узловых значений функций тока определяется граничными условиями для скоростей, остальные являются варьируемыми параметрами. Для уточнения границы пластической зоны удобно варьировать также координатами соответствующих граничных узлов. Минимизация полного энерговыделения по указанным параметрам даёт решение задачи в скоростях.