2. Теоретические методы решения задач омд

Но, даже введение множества упрощений, не позволяет в большинстве случаев получать аналитическое решение задач. Поэтому в теории обработки металлов давлением получил распространение ряд не столь универсальных, но более' простых, специальных и приближенных методов механики сплошных сред имеющих достаточную для практики точность.

К ним относятся метод характеристик, метод решения упрощенных уравнений равновесия и пластичности, метод сопротивлений материалов пластическим деформациям и д.р..

Из численных методов следует выделить метод конечных элементов (МКЭ), реализованный в большом количестве специализированных программ для ЭВМ например: QForm, Deform^TM и MSC. SuperForge. Этот метод позволяет, с высокой точностью решать различные задачи пластического деформирования. Однако подготовка к решению задачи и процесс решения занимают значительное время и требуют ЭВМ с высокой производительностью и большими объемами оперативной памяти.

Наряду с этими методами на практике широко применяются приближенные энергетические методы решения задач ОМД, позволяющие оперативно определят основные технологические параметры.

2.1. Инженерный метод [1].

Позволяет определить поле напряжений и полное усилие независимо от расчёта деформированного и скоростного состояния пластической среды. Этот метод основан на том, что в уравнения статического равновесия вносятся те или иные упрощения, позволяющие сократить количество уравнений и перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. К недостаткам инженерного метода следует отнести невозможность получения информации о локальном формоизменении, скоростном и деформированном состоянии, форме пластической области и напряжённом состоянии по объёму деформируемого тела.

2.2. Метод линий скольжения [1,2,4].

Метод линий скольжения или метод характеристик основан на построении ортогонального семейства линий, касательные к которым в любой точке совпадают с максимальными касательными напряжениями. Этот метод позволяет не только вычислять деформирующие усилия, но и полностью определять поля напряжений и скоростей в сечениях деформируемой жесткопластической среды и анализировать локальные явления. К недостаткам метода следует отнести его сложность, трудоёмкость и затруднения в учёте реологических свойств среды. Применение метода корректно лишь при решении плоских задач. Применение его в осесимметричных или объёмных задачах не имеет строгого обоснования.

2.3. Вариационные методы [2,3,4,5,6].

В основе современных методов решения задач теории ОМД лежат вариационные методы механики сплошной среды и метод конечных элементов. Весьма широкий класс задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, можно свести к соответствующим вариационным задачам. Таким образом, вместо решения дифференциальных уравнений минимизируются функционалы. На практике решения находят с помощью так называемой «подходящей» функции скоростей или перемещений, вводимых полуинтуитивно, и удовлетворяющей кинематическим условиям решения задачи. Таких подходящих функций, а соответственно и получаемых решений, для каждой задачи может быть бесконечное множество.

К разновидности вариационного метода следует отнести приближённый энергетический метод или метод верхней оценки. Этот метод заключается в замене реальных полей скоростей или перемещений материала в очаге деформации и замене его, разрывным, кинематически возможным, и применением к нему экстремальных принципов механики сплошной среды. Данный метод относительно прост и отличается универсальностью. С его помощью решено множество задач обработки металлов давлением. К преимуществам метода следует отнести возможность оценки усреднённой величины накопленной деформации и температурного поля заготовки. Точность энергетического метода можно существенно повысить, разбивая пластическую область на большее число блоков. Однако при этом увеличивается число варьируемых параметров и резко возрастает трудоёмкость метода, возникает необходимость применения ЭВМ.

2.4. Численные методы [15,16].

Численные методы приобрели большое значение с развитием ЭВМ. К преимуществам этих методов решения задач ОМД, по сравнению с аналитическими, следует отнести: сравнительно легко контролируемая точность, возможность учёта необходимого числа реальных факторов, влияющих на характер пластических деформаций, таких как: упрочнение, тепловой эффект, неоднородность деформации и т.д.

Применительно к задачам математической теории пластичности значительное распространение получили метод сеток и метод конечных элементов (МКЭ), суть которых состоит в замене сплошной среды конечным числом дискретных элементов.

Метод конечных элементов (МКЭ) является универсальным методом решения задач, встречающихся в физике и технике. Идея метода восходит ещё к Р. Куранту. Впервые под таким названием МКЭ был опубликован в работе Тернера, Клука, Мартина, и Топпа. В настоящее время он широко применяется при решении разнообразных инженерных задач в строительной механике, при проектировании самолётов и ракет, различных пространственных оболочек, при решении задач электростатики, гидродинамики, механике сплошных сред и т.д. Литература по МКЭ весьма обширна.

Как правило, физическая задача рассматривается в вариационной постановке: найти функцию, удовлетворяющую определённым граничным условиям и доставляющую минимум некоторой физической величине (например, энергии). Основная идея МКЭ состоит в следующем:

1) область, в которой ищется решение, разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами;

2) решение ищется в виде непрерывной кусочно-полиномиальной функции, т.е. функции, являющейся многочленом в каждой подобласти. Эти функции называются пробными. Степень многочлена одна и та же для всех подобластей, коэффициенты – свои для каждой подобласти.

Недостатки численных методов: большие затраты машинного времени препятствуют решению оптимизационных задач, где требуется перебор вариантов, что ограничивает возможности метода. Особенно это проявляется при решении задач со свободными границами.

К настоящему времени программы, основанные на методах конечных элементов и конечных объемов, стали повседневным инструментом, основной целью использования которого является развитие технологии. Наиболее известными и эффективными из них являются программные комплексы

Deform^TM и MSC.SuperForge. Алгоритмы, реализованные в рассматриваемых программах, дают возможность точно моделировать заполнение полости штампа и предсказывать возникновение возможных дефектов, а также оценивать расположение волокон в окончательной поковке.

Программный комплекс Deform^TM позволяет, прежде всего, ускорить процесс технологической подготовки производства на основе моделирования методом конечных элементов, специально разработанным для моделирования процессов с большими деформациями, такими, как например, обработка металлов давлением.

Использование программы MSC.SuperForge показывает одинаковую эффективность, как для небольших проектов, так и для сложных производственных процессов. Применение рассматриваемой программы позволяет оптимизировать ряд ключевых факторов, к которым можно отнести: технологичность изготовления, конечную форму, уровни остаточных напряжений и срок службы изделия.

3. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

3.1. О реологии

Создание общей теории определяющих уравнений является одной из основных задач важного раздела механики сплошных сред реологии (от греческого слова «reo» – теку, наука о течении материала) [6]. Реология должна ответить на вопрос: каковы напряжения (деформации) в окрестности данной материальной частицы в момент времени t при известном процессе ее деформирования (нагружения). Более точно, реология устанавливает вид функционалов,

или

описывающих термомеханические свойства различных сплошных сред. Решение этой задачи предусматривает проведение большого объема экспериментальных исследований и создание реологических моделей, позволяющих описывать реальные термомеханические свойства веществ.

Важные и типичные свойства материалов могут быть обнаружены в опытах по растяжению (сжатию) цилиндрических образцов. С целью получения однородного напряженного и деформированного состояния в средней части образца расчетная длина l₀ круглого цилиндрического образца в пять или десять раз превышает его диаметр d₀. Для испытаний обычно применяют разрывные машины, позволяющие автоматически строить первичную диаграмму растяжения. В этой диаграмме по оси координат откладывают усилия P, а по оси абсцисс – соответствующие им удлинения l.

3.2. Условная и истинная диаграмма напряжений

Вид диаграммы растяжения в координатах P–l зависит не только от свойств материала, но и от размеров испытуемого образца. Чтобы получить диаграмму, характеризующую только механические свойства материала, первичную диаграмму растяжения пересчитывают в координатах –. Ординаты такой диаграммы получают делением растягивающей силы Pi на первоначальную площадь поперечного сечения испытуемого образца:

.

Абсциссы диаграммы напряжений получают делением абсолютных удлинений расчетной части образца на первоначальную ее длину . Полученный таким образом график зависимости напряжений от деформаций не учитывает изменения площади поперечного сечения образца, поэтому он называется условной диаграммой напряжений в отличие от истинной диаграммы напряжений, при построении которой силу Рi делят на текущую площадь Fi поперечного сечения.

На рис.3.1 приведены условная (сплошная линия) и истинная 1 (штриховая линия) диаграммы напряжений для низкоуглеродистой стали. На каждой из них можно отметить ряд характерных точек: А, В, С, D, Е, F.

Вначале на участке ОА диаграмма представляет собой наклонную прямую. В этих пределах напряжения  растут пропорционально деформациям , т.е. соблюдается закон Гука , где Е – модуль упругости при растяжении.Закон Гука справедлив до предела пропорциональности _пц.

Выше точки А диаграмма искривляется, закон Гука нарушается. Однако вплоть до точки В, соответствующей пределу упругости _уп, деформация образца остается упругой и полностью исчезает при снятии нагрузки. Точка В находится вблизи точки А, поэтому их часто считают совпадающими. Если через точку В провести вертикальную линию, то левее этой линии на диаграмме будет зона упругих, а правее – зона упругопластических деформаций, так как там наряду с упругими будут иметь место и остаточные пластические деформации, не исчезающие при разгрузке.

Рис.3.1. Диаграммы напряжение материала с площадкой текучести

Рис.3.2. Диаграммы напряжений материала без площадки текучести

Начиная от точки С на диаграмме имеется горизонтальный участок, которому соответствует предел текучести _s,. На этом участке деформации растут без увеличения нагрузки – материал как бы «течет». Поэтому участок CD часто называют площадкой текучести.

Наличие площадки текучести для материалов не является характерным. Во многих случаях при испытаниях на растяжение площадка CD не обнаруживается и диаграмма растяжения имеет вид кривых, показанных на рис. 3.2. В этом случае предел текучести _s, определяют условно как напряжение, при котором остаточная деформация составляет заданную величину.

Начиная с точки D (рис.3.1) материал вновь приобретает способность увеличивать сопротивление дальнейшей деформации. Однако возрастание нагрузки при удлинении образца происходит гораздо медленнее, чем на упругом участке.

Диаграмма изменяется по плавной кривой с наивысшей точкой Е, в которой условное напряжение ( ) принимает наибольшее значение, достигая временного сопротивления _в.

После достижения точки Е на образце намечается место будущего разрыва и образуется шейка – локальное сужение образца. На диаграмме условные напряжения падают, что связано с уменьшением поперечного сечения образца. Однако если подсчитать истинное напряжение, отнесенное к наименьшей площади сечения шейки, то обнаружится возрастание напряжений до момента разрушения (точка F').

Следует отметить, что процесс образования шейки сопровождается неоднородностью деформации как от сечения к сечению, так и в каждом сечении в шейке.

РАЗГРУЗКА И ПОВТОРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. Дойдя до некоторой точки К. на условной диаграмме напряжений, будем уменьшать нагрузку на испытуемый образец. В процессе разгрузки зависимость  изобразится прямой KL, параллельной прямой ОА. При разгрузке в области упруго-пластических деформаций деформация полностью не исчезает. Она уменьшается на величину упругой части (отрезок LM). Отрезок OL представляет собой оста точную или пластическую деформацию.

При повторном нагружении образца диаграмма растяжения принимает вид прямой LK и далее – кривой KEF так, как будто промежуточной разгрузки мы не проводили. Таким образом, металл, вследствие первоначальной деформации как бы приобретает упругие свойства и повышает предел упругости, одновременно с этим теряя в значительной степени способность к пластической деформации. Это явление называется упрочнением (наклепом).

Аналогичный характер имеют диаграммы напряжений, построенные при сжатии и кручении цилиндрических образцов.

3.3 Влияние скорости деформации

Влияние скорости деформации на диаграмму напряжений существенно зависит от температуры. Это связано с тем, что при температуре _р, составляющей около 0,4Т- абсолютной температуры плавления, а также при ее повышении в деформированном металле происходит с определенной скоростью процесс рекристаллизации. При этом происходит образование и рост (или только рост) одних кристаллических зepeн поликристалла за счет других той же фазы. В процессе рекристаллизации вещество переходит в состояние с большой термодинамической устойчивостью.

Различают три стадии этого процесса. На первой стадии в деформированном поликристалле образуются новые кристаллические зерна, которые растут, поглощая зерна, искаженные деформацией. Вторая стадия – собирательная. В ходе ее искаженные зерна растут одно за счет другого, вследствие чего средняя величина зерна увеличивается. Наконец, на третьей стадии способность к росту проявляют лишь отдельные зерна, что приводит структуре с различными размерами зерна.

Рекристаллизация устраняет структурные дефекты, повышает пластичность, восстанавливает исходные (до деформации) свойства, текстуру металлов и при этом разупрочняет их. Итак, при пластической деформации образца, нагретого выше температуры рекристаллизации _р (такая деформация называется «горячей») наряду с упрочнением протекает процесс разупрочнения, вызванный рекристаллизацией.

3.4. Простейшие реологические модели

Рассматривая результаты экспериментов по растяжению цилиндрических образцов, мы отметили следующие фундаментальные свойства реального материала: упругость, вязкость и пластичность. Особенности поведения сплошной среды под действием приложенной нагрузки могут быть иллюстрированы комбинацией этих фундаментальных свойств.

В связи с этим удобно ввести простые реологические модели, вписывающие поведение некоторых идеализированных сред, изображая их условно механическими элементами.

Будем рассматривать линейное напряженное состояние (растяжения стержня). Обозначим  – соответствующее напряжение,  – относительное удлинение, έ=d/dt – скорость относительного удлинения.

Модель линейно-упругой среды, подчиняющейся закону Гука:

,

При построении модели жестко-пластической среды будем предполагать, что при напряжениях ниже предела текучести деформации отсутствуют. Пластическое течение имеет место при напряжении, удовлетворяющем условию текучести

_s.

Можно представить эту модель в виде груза, покоящегося на плоскости (элемент сухого трения; рис. 3.5, а).

Соединяя последовательно упругий и пластический элементы (рис.3.5, б) получим модель упруго-пластической среды. Диаграмма  -  для этой среды показана на рис. 3.5 , б. Общая деформация при этом состоит из двух частей: упругой ^e и пластической ^р:

=^e+^р.

При снятии нагрузки упругая деформация исчезает, остается пластическая деформация. На рис.3.3, в, г представлены диаграммы  -  для жестко-пластической и упруго-пластической линейно упрочняющейся среды.

Рис.3.3 Модели пластических сред:

а – жестко-идеально-пластическая среда;

б – упруго-идеально-пластическая среда;

в– жестко-пластическая линейно-упрочняющаяся cрeдa;

г – упруго-пластическая линейно-упрочняющаяся среда

Для решения теоретических задач необходимо преобразование геометрических моделей реологического поведения металла при данных термомеханических условиях в аналитические. На практике наиболее часто используются следующие модели аппроксимирующие экспериментальные данные по одноосному растяжению или сжатию металла при различных термомеханических условиях деформации:

;

;

;

,

где А_i, N, N₁, С, m и n- коэффициенты, полученные в экспериментах по одноосному растяжению или сжатию.

Первые три формулы используются обычно при расчетах холодного деформирования, а последняя - для учета деформационного и скоростного упрочнения при горячем деформировании металлов.