18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
Вычисление пределов.
Для
раскрытия неопределённостей вида
часто бывают полезным применять
принцип замены бесконечно малых
эквивалентными и другие свойства
эквивалентных бесконечно малых функций.
Как известно,
при
,
при
.
Приведем еще примеры эквивалентных
б.м.ф.
Пример
18.6. Покажем,
что
при
.
Решение.
Пример
18.7. Найдем
.
Решение.
Обозначим
.
Тогда
и
при
.
Поэтому
.
Следовательно,
при
.
Пример
18.8. Покажем,
что
при
.
Решение. Так как
при .
Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:
при ;
;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
в частности
.
Пример
18.9. Найти
.
Решение.
Так как
,
при
,
то
.
Пример
18.10. Найти
.
Решение.
Обозначим
,
из
следует
.
Поэтому
.
Пример
18.11. Найти
.
Решение.
Так как
при
,
то
.
Приближенные вычисления.
Если
,
то, отбрасывая в равенстве
бесконечно малую более высокого порядка,
т.е.
,
получим приближенное равенство
.
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.
Приведенные формулы справедливы при малых , и они тем точнее, чем меньше .
Н
апример,
графики функций
и
в окрестности точки 0 практически не
различимы (см. рис. 18.1), а кривая
в окрестности точки 0 сливается
с прямой
(рис. 18.2). На рисунках 18.2–18.6 проиллюстрированы
некоторые из
важнейших эквивалентностей, о которых
говорилось выше.
Рис. 18.1
Рис. 18.2
Рис. 18.4
Рис. 18.5
Рис. 18.6
Пример
18.12. Найти
приближенное значение для
.
Решение.
.
Для сравнения результата по таблице
логарифмов находим, что
=
0,031498…
§ 19. Непрерывность функций
19.1. Непрерывность функции в точке
Определение. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.
.
(19.1)
Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:
1)функция определена в точке и в ее окрестности;
2)функция имеет предел при ,
3)предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство (19.1).
Так
как
,
то равенство (19.1) можно записать в виде
.
(19.2)
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию вместо аргумента подставить его предельное значение .
Например,
.
В первом равенстве функция и предел
поменялись местами (см. (19.2)) в силу
непрерывности функции
.
Пример
19.1. Вычислить
.
Решение.
.
Отметим,
что
при
.
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.
Определение.
Пусть функция
определена в некотором интервале
.
Возьмем
произвольную точку
.
Для любого
разность
называется приращением
аргумента
в точке
и обозначается
(«дельта
»):
.
Отсюда
.
Определение.
Разность соответствующих значений
функций
называется приращением
функции
в точке
и обозначается
(или
или
):
или
(см. рис. 19.1).
Очевидно, приращения и могут быть как положительными, так и отрицательными числами.
Рис. 19.1
Запишем
равенство (19.1) в новых обозначениях. Так
как условия
и
одинаковы, то равенство (19.1) принимает
вид
или
.
(19.3)
Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.
Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию .
Решение. Функция определена при всех .
Возьмем произвольную точку и найдем приращение :
.
Тогда
,
так как произведение ограниченной
функции и б.м.ф. есть б.м.ф.
Согласно определению (19.3), функция непрерывна в точке .
Аналогично доказывается, что функция также непрерывна.