12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть прямые и заданы уравнениями

и

.

Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами и (см. рис. 12.13). Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем

или

.

Для нахождения острого угла между прямыми и числитель правой части формулы (12.16) следует взять по модулю.

Рис. 12.13

Если прямые и перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем . Следовательно, числитель дроби (12.16) равен нулю, т. е. .

Если прямые и параллельны, то параллельны их направляющие векторы и . Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е. .

Пример 12.2. Найти угол между прямыми

и

Решение. Очевидно, , а , где , . Отсюда следует, что . Так как , то .

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями

и

.

Их направляющие векторы соответственно и (см. рис. 12.14).

Прямая проходит через точку , радиус-вектор которой обозначим через ; прямая проходит через точку , радиус-вектор которой обозначим через . Тогда

.

Прямые и лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны. Условием компланарности векторов явля­ется равенство нулю их смешанного произведения: ; т.е.

.

При выполнении этого условия прямые и лежат в одной плос­кости, то есть либо пересекаются, если , либо параллельны, если .

Рис. 12.14

12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть плоскость задана уравнением , а

прямая уравнениями

.

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью и прямой , а через — угол между векторами и (см. рис. 12.15).

Тогда . Найдем синус угла , считая : .

Рис. 12.15

И так как , получаем

. (12.17)

Если прямая параллельна плоскости , то векторы и перпендикулярны (см. рис. 12.16), а потому , т. е.

является условием параллельности прямой и плоскости.

Рис. 12.16

Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы и параллельны (см. рис. 12.17). Поэтому равенства

являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

Рис. 12.17

Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости.

Пусть требуется найти точку пересечения прямой

(12.18)

с плоскостью

. (12.19)

Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом виде:

Подставляя эти выражения для , и в уравнение плоскости (12.19), получаем уравнение или

. (12.20)

Если прямая не параллельна плоскости, т.е. если , то из равенства (12.20) находим значение :

.

Подставляя найденное значение в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью. Рассмотрим теперь случай, когда ( ):

а) если , то прямая параллель­на плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не имеет, так как имеет вид , где );

б) если , то уравнение (12.20) имеет вид ; ему удовлетворяет любое значение , любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств

является условием принадлежности прямой плоскости.