18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Вычисление пределов.

Для раскрытия неопределённостей вида часто бывают полез­ным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как из­вестно, при , при . Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

Пример 18.6. Покажем, что при .

Решение.

Пример 18.7. Найдем .

Решение. Обозначим . Тогда и при .

Поэтому

.

Следовательно, при .

Пример 18.8. Покажем, что при .

Решение. Так как

при .

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые исполь­зуются при вычислении пределов:

1. при ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. , ; в частности .

Пример 18.9. Найти .

Решение. Так как , при , то

.

Пример 18.10. Найти .

Решение. Обозначим , из следует . Поэтому

.

Пример 18.11. Найти .

Решение. Так как при , то

.

Приближенные вычисления.

Если , то, отбрасывая в равенстве бесконечно малую более высокого порядка, т.е. , получим приближенное равенство .

Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквива­лентности служат источником ряда приближенных формул.

Приведенные формулы справедливы при малых , и они тем точнее, чем меньше .

Н апример, графики функций и в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 18.1), а кривая в окрестности точки 0 сливается с прямой (рис. 18.2). На рисунках 18.2–18.6 проиллю­стрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.

Рис. 18.1

Рис. 18.2

Рис. 18.4

Рис. 18.5

Рис. 18.6

Пример 18.12. Найти приближенное значение для .

Решение. . Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что = 0,031498…

§ 19. Непрерывность функций

19.1. Непрерывность функции в точке

Определение. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

. (19.1)

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1)функция определена в точке и в ее окрестности;

2)функция имеет предел при ,

3)предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство (19.1).

Так как , то равенство (19.1) можно записать в виде

. (19.2)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию вместо аргумента подставить его предельное значение .

Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функ­ции .

Пример 19.1. Вычислить .

Решение.

.

Отметим, что при .

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опи­раясь на понятия приращения аргумента и функции.

Определение. Пусть функция опре­делена в некотором интервале . Возьмем произвольную точку . Для любого разность называется прира­щением аргумента в точке и обозначается («дельта »): . Отсюда .

Определение. Разность соответствующих значений функций на­зывается приращением функции в точке и обозначается (или или ): или (см. рис. 19.1).

Очевидно, приращения и могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Рис. 19.1

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия и одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид или

. (19.3)

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением не­прерывности функции в точке: функция называется не­прерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестно­сти и выполняется равенство (19.3), т.е. бесконечно малому прираще­нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Функция определена при всех .

Возьмем произвольную точку и найдем приращение :

.

Тогда , так как произведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция непрерывна в точ­ке .

Аналогично доказывается, что функция также непре­рывна.