15.2. Предел числовой последовательности

Можно заметить, что члены последовательности неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последователь­ность , стремится к пределу 1.

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется такое натуральное число , что при всех выполняется неравенство

. (15.2)

В этом случае пишут или и говорят, что последовательность (или переменная , пробегающая последо­вательность ) имеет предел, равный числу (или стре­мится к ). Говорят также, что последовательность сходится к .

Коротко определение предела можно записать так:

.

Пример 15.1. Доказать, что .

Решение. По определению, число 1 будет пределом последователь­ности , , если найдется натуральное число , такое, что для всех выполняется неравенство , т.е. . Оно справедливо для всех , т. е. для всех , где — целая часть числа (целая часть числа , обозначаемая , есть наибольшее целое число, не превосходящее ж; так [3] = 3, [5,2] = 5).

Если , то в качестве можно взять .

Итак, указано соответствующее значение . Это и доказы­вает, что

.

Заметим, что число зависит от . Так, если , то

;

если , то

.

Поэтому иногда записывают .

Выясним геометрический смысл определения предела последова­тельности.

Неравенство (15.2) равносильно неравенствам или , которые показывают, что элемент находится в -окрестности точки .

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число называется пределом последова­тельности , если для любой -окрестности точки найдется нату­ральное число , что все значения , для которых , попадут в -окрестность точки (см. рис. 15.1).

Рис. 15.1

Ясно, что чем меньше , тем больше число , но в любом слу­чае внутри -окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность (см. с. 124).

Постоянная последовательность , имеет предел, рав­ный числу с, т. е. . Действительно, для при всех нату­ральных выполняется неравенство (15.2). Имеем .

15.3. Предельный переход в неравенствах

Рассмотрим последовательности , и .

Теорема 15.1. Если , и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то .

Доказательство. Допустим, что . Из равенств и следует, что для любого найдется такое натуральное число , что при всех будут выполняться неравенства и , т.е. и . Возьмем . Тогда: т.е. и т.е. . Отсюда следует, что . Это противоречит условию . Следовательно, .

Теорема 15.2. Если , и справедливо неравенство (начиная с некоторого номера), то .

Примем без доказательства.