§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства

7.1. Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершаю­щимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1) перпендикулярен векторам и , т. е. и ;

2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, по­строенного на векторах и как на сторонах (см. рис. 7.2), т. е.

, где ;

Рис. 7.2.

3) векторы , и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается или . Из определения векторного произведения непосредственно вытека­ют следующие соотношения между ортами , и (см. рис. 7.3):

, , .

Докажем, например, что .

Рис. 7.3.

1. , ;

2. , но ;

3. векторы , и образуют правую тройку (см. рис. 7.1).

7.2. Свойства векторного произведения

Свойство 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. (см. рис. 7.4).

Рис. 7.4.

Доказательство. Векторы и коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Стало быть, .

Свойство 2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. .

Пусть . Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы , лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарные. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

и

.

Поэтому . Аналогично доказывается при .

Свойство 3. Два ненулевых вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. .

Если , то угол между ними равен или . Но тогда . Значит, . Если же , то . Но тогда или , т. е. .

В частности, .

Свойство 4. Векторное произведение обладает распределительным свойством: .

Примем без доказательства.

7.3. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векто­ров , и :

Чтобы не ошибиться со знаком, удобно пользоваться схемой: если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора и . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

т. e.

(7.1)

Полученную формулу можно записать еще короче:

, (7.2)

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается.