8.3. Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы

, , .

Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Полученную формулу можно записать короче:

,

так как правая часть равенства представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю тре­тьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

8.4. Некоторые приложения смешанного произведения

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Определение взаимной ориентации векторов , и основано на следующих соображениях. Если , то , , — правая тройка; если , то , , — левая тройка.

Условие компланарности векторов.

Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их сме­шанное произведение равно нулю ( , , ):

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен .

Пример 8.1. Вершинами пирамиды служат точки , , и . Найти объем пирамиды.

Решение. Находим векторы , , :

, , .

Находим :

.

Следовательно, .

III. Аналитическая геометрия на плоскости

§9. Система координат на плоскости

9.1. Основные понятия

Определение. Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости.

Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения — началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью ), другую — осью ординат (осью ) (рис. 9.1).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направлен­ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти (или квадранты).

Единичные векторы осей обозначают и ( , ). Систему координат обозначают (или ), а плоскость, в ко­торой расположена система координат, называют координатной плос­костью.

Рассмотрим произвольную точку плоскости . Вектор называется радиусом-вектором точки .

Определение. Координатами точки в системе координат ( ) называются координаты радиуса-вектора .

Если , то координаты точки записывают так: , число называется абсциссой точки , — ординатой точки .

Эти два числа и полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел и соответствует единствен­ная точка плоскости, и наоборот.

Рис. 9.1

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой , называемой полюсом, лучом , называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч .

Возьмем на плоскости точку , не совпадающую с . Положение точки определяется двумя числами: ее расстоянием от полюса и углом , образованным отрезком с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 9.2).

Рис. 9.2

Числа и называются полярными координатами точки , пишут , при этом называют полярным радиусом, — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ограничить промежутком (или ), а полярный радиус — . В этом случае каждой точке плоскости (кроме ) соответствует единственная пара чисел и , и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс с началом координат системы , а полярную ось — с положительной полуосью . Пусть и — прямоугольные координаты точки , а и — ее полярные координаты.

Из рисунка 9.3 видно, что прямоугольные координаты точки выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

.

Полярные же координаты точки выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

Определяя величину , следует установить (по знакам и ) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

Рис. 9.3

Пример 9.1. Дана точка ). Найти полярные координаты точки .

Решение. Находим и :

, .

Отсюда , . Но так как точка лежит в 3-й четверти, то и . Итак, полярные координаты точки есть , , т.е. .