§18. Эквивалентные бесконечно малые функции
18.1. Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть
и
есть б.м.ф. при
,
т. е.
и
.
1.Если
(
),
то
и
называются бесконечно
малыми одного порядка.
2.Если
,
то
называется бесконечно
малой более высокого порядка, чем
.
3.Если
,
то
называется бесконечно
малой более низкого порядка, чем
.
4.Если
не существует, то
и
называются несравнимыми
бесконечно малыми.
Отметим,
что таковы же правила сравнения б.м.ф.
при
,
.
Пример
18.1.
Сравнить
порядок функций
и
при
.
Решение. При это б.м.ф. одного порядка, так как
.
Говорят, что б.м.ф. и одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.
Пример
18.2.
Являются ли
функции
и
б.м.ф. одного порядка при
?
Решение.
При
функция
есть б.м.ф. более высокого порядка, чем
,
так как
.
В этом случае б.м.ф.
стремится к нулю быстрее, чем
.
Пример
18.3.
Сравнить
порядок функций
и
при
.
Решение. Так как
,
то есть б.м.ф. более низкого порядка, чем .
Пример
18.4. Можно
ли сравнить функции
и
при
?
Решение.
Функции
и
при
являются несравнимыми б.м.ф., так как
предел
не существует.
18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Определение.
Если
,
то
и
называются эквивалентными
бесконечно малыми
(при
);
это обозначается так:
.
Например,
при
,
т. к.
;
при
,
т. к.
.
Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Доказательство.
Пусть
и
при
.
Тогда
,
т.е.
.
Очевидно
также, что
.
Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Пусть при . Тогда
,
аналогично
.
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. и есть бесконечно малая высшего порядка, чем или , то и — эквивалентные бесконечно малые.
Действительно,
так как
,
то
,
т.е.
.
Отсюда
,
т.е.
.
Аналогично, если
,
то
.
Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство.
Докажем теорему для двух функций. Пусть
,
при
,
причем
— б.м.ф. высшего порядка, чем
,
т. е.
.
Тогда
.
Следовательно,
при
.
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Пример
18.5. Найти
предел
.
Решение.
,
поскольку
и
при
.