16.2. Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Определение. Число называется пределом функции слева в точке , если для любого число существует число такое, что при , выполняется неравенство . Предел слева записывают так: или коротко: (обозначение Дирихле) (см. рис. 16.2).

Рис. 16.2

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

.

Коротко предел справа обозначают .

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем .

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба преде­ла и и они равны, то существует предел и .

Если же , то не существует.

16.3. Предел функции при

Пусть функция определена в промежутке .

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Коротко это определение можно записать так:

.

Если , то пишут , если , то — . Геометрический смысл этого определения таков: для , что при или соответ­ствующие значения функции попадают в -окрестность точки , т.е. точки графика лежат в полосе шириной , ограниченной прямыми и (см. рис. 16.3).

Рис. 16.3

16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)

Определение. Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа существует число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется

неравенство . Записывают или при . Коротко:

.

Например, функция есть б.б.ф. при .

Если стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .

Определение. Функция , заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого числа найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:

.

Например, есть б.б.ф. при .

Отметим, что если аргумент , стремясь к бесконечности, принимав ет лишь натуральные значения, т.е. , то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, по­следовательность , , является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, .)

Однако, если , где — конечное число, то функция ограничена в окрестности точки .

Действительно, из определения предела функции следует, что при выполняется условие . Следовательно, при , а это и означает, что функция ограничена.