14.3. Основные характеристики функции

1. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси , а не­четной — относительно начала координат.

Пример 14.2. , , — четные функции; а , — нечетные функции; , — функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.

2. Пусть функция определена на множестве и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: , то функция называется возрастающей на множе­стве ; , то функция на­зывается неубывающей на множестве ; , то функция назы­вается убывающей на множестве ; , то функция называется невозрастающей на множестве .

Например, функция, заданная гра­фиком (см. рис. 14.3), убывает на интер­вале (–2; 1), не убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5).

Рис. 14.3

Возрастающее, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна (–2; 1) и (3; 5); монотонна на (1; 3).

3. Функцию , определенную на множестве , называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство (ко­роткая запись: , , называется ограниченной на , если ). Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми и (см. рис. 14.4).

Рис. 14.4

4. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение и . При этом число называется периодом функции. Если — период функции, то ее периодами будут также числа , где Так, для периодами будут числа Основной период (наименьший положительный) — это период . Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству .

14.4. Обратная функция

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений . Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с обла­стью определения и множеством значений (см. рис. 14.5). Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно (если это возможно).

Рис. 14.5

Пример 14.3. 1.Для функции обратной функцией является функция ;

2.Для функции , , обратной функцией является ; заметим, что для функции , заданной на отрезке [–1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению соответствует два значения (так, если , то , ).

Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обрат­ную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функ­ция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция и обратная ей изображают­ся одной и той же кривой, т. е. графи­ки их совпадают. Если же условить­ся, что, как обычно, независимую пе­ременную (т. е. аргумент) обозначить через , а зависимую переменную че­рез , то функция обратная функции запишется в виде .

Это означает, что точка кривой становится точ­кой кривой . Но точки и симметричны относительно прямой (см. рис. 14.6). Поэтому графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третье­го координатных углов.

Рис. 14.6