V. Введение в анализ

§13. Множества. Действительные числа

13.1. Основные понятия

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики.

Определение. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения , о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин­ского алфавита а их элементы — малыми буквами

Если элемент принадлежит множеству , то записывают ; запись или означает, что элемент не принадлежит множеству .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом .

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись = {1, 3, 15} означает, что множество состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись = { : } означает, что множество состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .

Определение. Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).

Определение. Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Определение. Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или ). Кратко Можно записать = { : или }.

Определение. Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству . Пересечение (произведение) мно­жеств обозначают (или ). Кратко можно записать = { : и }.

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать неко­торые простейшие логические символы:

— означает «из предложения следует предложение »;

— «предложения и равносильны», т.е. из следует и из следует ;

— означает «для любого», «для всякого»;

— «существует», «найдется»;

: — «имеет место», «такое что»;

— «соответствие».

Пример 13.1. 1) запись : означает: «для всякого элемента имеет место предложение »;

2) ( ) ( или ); эта запись определяет

объединение множеств и .

13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел

Определение. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

= {1; 2; 3; …; ; …} — множество натуральных чисел;

= {0; 1; 2; …; ; …} — множество целых неотрицательных чисел;

= {0; ±1; ±2; …; ± ; …} — множество целых чисел;

= — множество рациональных чисел.

— множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

.

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, = 0,5 (= 0,500…), = 0,333… — рациональные числа.

Определение. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Доказательство. Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью , квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

, т.е. (единственная) точка числовой оси и, на­оборот, каждой точке оси соответствует определенное число. Отсюда следует, что (а значит, и ) — четное число, т.е. . Подставив в равенство , получим , т.е. . Отсюда следует, что число — четное, т.е. . Но тогда дробь сократима. Это противоречит допущению, что дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, = 1,4142356…, = 3,1415926… — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множе­ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать

= { : }, где , {0, 1, …,9}.

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .

Свойство 2. Множество плотное: между любыми двумя различными чи­слами и содержится бесконечное множество действительных чисел , т.е. чисел, удовлетворяющих неравенству .

Так, если , то одним из них является число

.

Свойство 3. Множество непрерывное. Пусть множество разбито на два непустых класса и таких, что каждое действительное число содер­жится только в одном классе и для каждой пары чисел и выполнено неравенство . Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству ( , ). Оно отделяет числа класса от чисел класса . Чи­сло с является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однознач­ное соответствие между множеством всех действительных чисел и мно­жеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу соответствует определенная (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».