12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Пусть прямые и заданы уравнениями
и
.
Под
углом между этими прямыми понимают угол
между направляющими векторами
и
(см. рис. 12.13). Поэтому, по известной
формуле для косинуса угла между векторами,
получаем
или
.
Для нахождения острого угла между прямыми и числитель правой части формулы (12.16) следует взять по модулю.
Рис. 12.13
Если
прямые
и
перпендикулярны,
то в этом и только в этом случае имеем
.
Следовательно, числитель дроби (12.16)
равен нулю, т. е.
.
Если
прямые
и
параллельны, то параллельны их направляющие
векторы
и
.
Следовательно,
координаты этих векторов пропорциональны,
т. е.
.
Пример 12.2. Найти угол между прямыми
и
Решение.
Очевидно,
,
а
,
где
,
.
Отсюда следует, что
.
Так как
,
то
.
Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.
Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями
и
.
Их
направляющие векторы соответственно
и
(см. рис.
12.14).
Прямая
проходит через точку
,
радиус-вектор которой обозначим через
;
прямая
проходит
через точку
,
радиус-вектор которой обозначим через
.
Тогда
.
Прямые
и
лежат в одной
плоскости, если векторы
,
и
компланарны.
Условием компланарности векторов
является равенство нулю их смешанного
произведения:
;
т.е.
.
При
выполнении этого условия прямые
и
лежат в одной
плоскости, то есть либо пересекаются,
если
,
либо параллельны, если
.
Рис. 12.14
12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Пусть
плоскость
задана уравнением
,
а
прямая уравнениями
.
Углом
между прямой и плоскостью называется
любой из двух смежных углов, образованных
прямой и ее проекцией на плоскость.
Обозначим через
угол между плоскостью
и прямой
,
а через
— угол между векторами
и
(см. рис. 12.15).
Тогда
.
Найдем синус угла
,
считая
:
.
Рис. 12.15
И
так как
,
получаем
.
(12.17)
Если
прямая
параллельна плоскости
,
то векторы
и
перпендикулярны (см. рис. 12.16), а потому
,
т. е.
является условием параллельности прямой и плоскости.
Рис. 12.16
Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы и параллельны (см. рис. 12.17). Поэтому равенства
являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
Рис. 12.17
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости.
Пусть требуется найти точку пересечения прямой
(12.18)
с плоскостью
. (12.19)
Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом виде:
Подставляя
эти выражения для
,
и
в уравнение плоскости (12.19), получаем
уравнение
или
.
(12.20)
Если
прямая
не параллельна плоскости, т.е. если
,
то из равенства (12.20) находим значение
:
.
Подставляя
найденное значение
в параметрические уравнения прямой,
найдем координаты точки пересечения
прямой с плоскостью. Рассмотрим теперь
случай, когда
(
):
а)
если
,
то прямая
параллельна плоскости и пересекать
ее не будет (уравнение (12.20) решения не
имеет, так как имеет вид
,
где
);
б)
если
,
то уравнение (12.20) имеет вид
;
ему удовлетворяет любое значение
,
любая точка прямой является точкой
пересечения прямой и плоскости. Заключаем:
прямая лежит
в плоскости. Таким образом, одновременное
выполнение равенств
является условием принадлежности прямой плоскости.