12.2. Уравнения плоскости в пространстве

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Пусть в пространстве плоскость задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 12.4). Выведем уравнение плоскости . Возьмем на ней произвольную точку и составим вектор

.

При любом расположении точки на плоскости векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: , т. е.

. (12.3)

Координаты любой точки плоскости удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости , этому уравнению не удовлетворяют (для них ).

Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат , и . Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Придавая коэффициентам , и уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнением связки плоскостей.

Рис. 12.4

Общее уравнение плоскости.

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными , и .

. (12.4)

Полагая, что, по крайней мере, один из коэффициентов , или не равен нулю, например , перепишем уравнение (12.4) в виде

. (12.5)

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным

вектором , проходящей через точку .

Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если , то оно принимает вид . Этому уравнению удовлетворяет точка . Следовательно, в этом слу­чае плоскость проходит через начало координат.

2. Если , то имеем уравнение . Нормальный вектор перпендикулярен оси . Следовательно, плос­кость параллельна оси ; если — параллельна оси , — параллельна оси .

3. Если , то плоскость проходит через парал­лельно оси , т. е. плоскость проходит через ось . Аналогично, уравнениям и отвечают плоско­сти, проходящие соответственно через оси и .

4.Если , то уравнение (12.4) принимает вид , т. е. . Плоскость параллельна плоскости . Аналогиями уравнениям и отвечают плоскости, соответ­ственно параллельные плоскостям и .

5.Если , то уравнение (12.4) примет вид , т.е. . Это уравнение плоскости . Аналогично: — уравнение плоскости ; — уравнение плоскости .

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости , проходящей через три данные точки , и , не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку и составим векторы , , . Эти векторы лежат на плоскости , следовательно, они компланарны. Используем условие компланарно­сти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем

, т.е.

. (12.6)

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три дан­ные точки.

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях , и соответственно отрезки , и , т. е. проходит через три точки , и (см. рис. 12.5).

Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

.

Раскрыв определитель, имеем , т.е. или

. (12.7)

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Рис. 12.5

Нормальное уравнение плоскости.

Положение плоскости вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра , опущенного на плоскость из начала координат, и длиной этого перпендикуляра (см. рис. 12.6).

Рис. 12.6

Пусть , а , , — углы, образованные единичным вектором с осями , и . Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку и соединим ее с началом координат. Образуем вектор .

При любом положении точки на плоскости проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно : , т.е. или

. (12.8)

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов и , уравнение (12.8) перепишем в виде

. (12.9)

Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель

,

где знак берется противоположным знаку свободного члена общего уравнения плоскости.