10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и (см. рис. 10.15).

Требуется найти угол , на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пере­сечения до совпадения с прямой .

Рис. 10.15

Имеем (теорема о внешнем угле треугольника) или . Если , то

.

Ho , , поэтому

(10.12)

откуда легко получим величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учиты­вая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть

формулы (10.12) берется по модулю, т. е.

Если прямые и параллельны, то и . Из форму­лы (10.12) следует , т. е. . И обратно, если прямые и таковы, что , то , т. е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является ра­венство их угловых коэффициентов: .

Если прямые и перпендикулярны, то . Следовательно,

. Отсюда , т.е. (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .

Расстояние от точки до прямой.

Пусть заданы прямая уравнением и точка (см. рис. 10.16). Требуется найти расстояние от точки до прямой .

Решение: Расстояние от точки до прямой равно модулю проекции вектора , где — произвольная точка прямой , на направление нормального вектора . Следовательно,

.

Так как точка принадлежит прямой , то , т. е. . Поэтому

,

что и требовалось получить.

Рис. 10.16

Пример 10.3. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение: По формуле (10.13) получаем

.

§11. Линии второго порядка на плоскости

11.1. Основные понятия

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

. (11.1)

Коэффициенты уравнения — действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел , или Отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

11.2. Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса с центром в точке называется множество всех точек плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка в прямоугольной системе координат имеет координаты , , а — произвольная точка окружности (см. рис. 11.1).

Рис. 11.1

Тогда из условия получаем уравнение

,

то есть

(11.2)

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности.

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат .

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1) коэффициенты при и равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение текущих коор­динат.

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значе­ния и получим

(11.3)

Преобразуем это уравнение:

,

т.е.

,

т.е.

. (11.4)

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии

.

Ее центр находится в точке , а радиус

.

Если же , то уравнение (11.3) имеет вид

.

Ему удовлетворяют координаты единственной точки . В этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).

Если

,

то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть — не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).