9.2. Основные приложения метода координат на плоскости

Расстояние между двумя точками.

Требуется найти расстояние между точками и плоскости .

Искомое расстояние равно длине вектора , т. е.

.

Деление отрезка в данном отношении.

Требуется разделить отрезок , соединяющий точки и в за­данном отношении , т. е. найти коорди­наты точки отрезка такой, что (см. рис. 9.4).

Введем в рассмотрение векто­ры и . Точка делит отрезок в отношении , если

. (9.1)

Но , т.е. и , т.е. . Уравнение (9.1) принимает вид

.

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

, т.е.

(9.2)

Рис. 9.4

и

, т.е.

. (9.3)

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в дан­ном отношении.

В частности, при , т. е. если , то они примут вид , . В этом случае точка является серединой отрезка АВ.

Замечание. Если , то это означает, что точки и совпа­дают, если , то точка лежит вне отрезка — говорят, что точка делит отрезок внешним образом ( , т.к. в противном случае , т.е. , т. е. ).

Площадь треугольника.

Требуется найти площадь треугольни­ка с вершинами , , .

Опустим из вершин , , перпендикуляры , , на ось (см. рис. 9.5).

Рис. 9.5

Очевидно, что

.

Поэтому

т. е.

,

Замечание. Если при вычислении площади треугольника получим , то это означает, что точки , , лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

9.3. Преобразование системы координат

Переход от одной системы координат в какую-либо другую назы­вается преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной си­стемы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зави­симость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Параллельный перенос осей координат.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат . Под параллельным переносом осей координат понимают переход от си­стемы координат к новой системе , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Пусть начало новой системы координат точка имеет коорди­наты старой системе координат , т. е. . Обозна­чим координаты произвольной точки плоскости в системе через , а в новой системе через (см. рис. 9.6).

Рассмотрим векторы

, , .

Так как , то , т.е.

.

Следовательно,

Полученные формулы позволяют находить старые координаты и по известным новым и и наоборот.

Рис. 9.6

Поворот осей координат.

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система получена поворотом системы на угол .

Пусть — произвольная точка плоскости, — ее координаты в старой системе и — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом и полярными осями и (масштаб одинаков). Полярный радиус в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны и , где — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

т.е.

Ho и . Поэтому .

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты произвольной точки через новые координаты этой же точки , и наоборот.

Рис. 9.7

Если новая система координат получена из старой пу­тем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол (см. рис. 9.8), то путем введения вспомогательной систе­мы легко получить формулы

,

выражающие старые координаты и произвольной точки через ее новые координаты и .

Рис. 9.8